实际上联合平稳随机过程和单一的随机过程是十分相似的，联合平稳随机过程用来表征两个随机过程之间的关系。
联合平稳随机过程
1.概率分布与矩函数
- 假定有两个随机过程 X ( t ) X(t) X(t) 和 Y ( t ) Y(t) Y(t) 概率密度分别为 p n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; t 1 , t 2 , ⋯ , t n ) p_n(x_1,x_2,\dotsb,x_n;t_1,t_2,\dotsb,t_n) pn(x1,x2,⋯,xn;t1,t2,⋯,tn) p m ( y 1 , y 2 , ⋯ , y m ; t 1 ′ , t 2 ′ , ⋯ , t m ′ ) p_m(y_1,y_2,\dotsb,y_m;t'_1,t'_2,\dotsb,t'_m) pm(y1,y2,⋯,ym;t1′,t2′,⋯,tm′)
- 联合概率分布函数
F m + n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; y 1 , y 2 , ⋯ , y m ; t 1 , t 2 , ⋯ , t n ; t 1 ′ , t 2 ′ , ⋯ , t m ′ ) = P { X ( t 1 ) ≤ x 1 , X ( t 2 ) ≤ x 2 , ⋯ X ( t n ) ≤ x n ; Y ( t 1 ′ ) ≤ y 1 , Y ( t 2 ′ ) ≤ y 2 , ⋯ Y ( t n ′ ) ≤ y n } \begin{matrix} F_{m+n}(x_1,x_2,\dotsb ,x_n;y_1,y_2,\dotsb,y_m;t_1,t_2,\dotsb,t_n;t'_1,t'_2,\dotsb,t'_m)\\ ~~\\ = P\{ X(t_1) \le x_1,X(t_2) \le x_2, \dotsb X(t_n) \le x_n ;Y(t'_1) \le y_1,Y(t'_2) \le y_2, \dotsb Y(t'_n) \le y_n \} \end{matrix} Fm+n(x1,x2,⋯,xn;y1,y2,⋯,ym;t1,t2,⋯,tn;t1′,t2′,⋯,tm′) =P{ X(t1)≤x1,X(t2)≤x2,⋯X(tn)≤xn;Y(t1′)≤y1,Y(t2′)≤y2,⋯Y(tn′)≤yn} - 联合概率密度函数
p m + n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; y 1 , y 2 , ⋯ , y m ; t 1 , t 2 , ⋯ , t n ; t 1 ′ , t 2 ′ , ⋯ , t m ′ ) = ∂ n F n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; y 1 , y 2 , ⋯ , y m ; t 1 , t 2 , ⋯ , t n ; t 1 ′ , t 2 ′ , ⋯ , t m ′ ) ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ x n ∂ y 1 ∂ y 2 ⋯ ∂ y m \begin{matrix} p_{m+n}(x_1,x_2,\dotsb ,x_n;y_1,y_2,\dotsb,y_m;t_1,t_2,\dotsb,t_n;t'_1,t'_2,\dotsb,t'_m)\\ ~~\\ = \dfrac{\partial^n F_n(x_1,x_2,\dotsb ,x_n;y_1,y_2,\dotsb,y_m;t_1,t_2,\dotsb,t_n;t'_1,t'_2,\dotsb,t'_m)}{\partial x_1\partial x_2 \dotsb \partial x_n\partial y_1\partial y_2 \dotsb \partial y_m} \end{matrix} pm+n(x1,x2,⋯,xn;y1,y2,⋯,ym;t1,t2,⋯,tn;t1′,t2′,⋯,tm′) =∂x1∂x2⋯∂xn∂y1∂y2⋯∂ym∂nFn(x1,x2,⋯,xn;y1,y2,⋯,ym;t1,t2,⋯,tn;t1′,t2′,⋯,tm′) - 过程的统计独立：
p m + n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; y 1 , y 2 , ⋯ , y m ; t 1 , t 2 , ⋯ , t n ; t 1 ′ , t 2 ′ , ⋯ , t m ′ ) = p n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n , t 1 , t 2 , ⋯ , t n ) p m ( y 1 , y 2 , ⋯ , y m , t 1 ′ , t 2 ′ , ⋯ , t n ′ ) \begin{matrix} p_{m+n}(x_1,x_2,\dotsb ,x_n;y_1,y_2,\dotsb,y_m;t_1,t_2,\dotsb,t_n;t'_1,t'_2,\dotsb,t'_m) \\ ~~\\ = p_n(x_1,x_2,\dotsb ,x_n,t_1,t_2,\dotsb,t_n) p_m(y_1,y_2,\dotsb ,y_m,t'_1,t'_2,\dotsb,t'_n) \end{matrix} pm+n(x1,x2,⋯,xn;y1,y2,⋯,ym;t1,t2,⋯,tn;t1′,t2′,⋯,tm′) =pn(x1,x2,⋯,xn,t1,t2,⋯,tn)pm(y1,y2,⋯,ym,t1′,t2′,⋯,tn′)
2.矩函数
- 互相关函数：
R X ( t 1 , t 2 ) = E [ X ( t 1 ) Y ( t 2 ) ] = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ x y p 2 ( x , y ; t 1 , t 2 ) d x d y R_X(t_1,t_2) = E[X(t_1)Y(t_2)]=\int _{-\infin}^{\infin}\int _{-\infin}^{\infin}xy~p_2(x,y;t_1,t_2)dxdy RX(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=∫−∞∞∫−∞∞xy p2(x,y;t1,t2)dxdy - 互协方差函数：
C X Y ( t 1 , t 2 ) = E [ X ( t 1 ) − m X ( t 1 ) ] [ Y ( t 2 ) − m Y ( t 2 ) ] C_{XY}(t_1,t_2) = E[X(t_1)-m_X(t_1)][Y(t_2)-m_Y(t_2)] CXY(t1,t2)=E[X(t1)−mX(t1)][Y(t2)−mY(t2)]
3.联合平稳的矩函数
- 定义： p m + n p_{m+n} pm+n 不随时间的改变而变化，称过程 X ( t ) X(t) X(t) 和 Y ( t ) Y(t) Y(t) 联合平稳。
- 互相关函数： R X Y ( t 1 , t 2 ) = R X Y ( τ ) R_{XY}(t_1,t_2) = R_{XY}(\tau) RXY(t1,t2)=RXY(τ)
- 互相关系数： r X Y ( τ ) = C X Y ( τ ) σ X σ Y r_{XY}(\tau) = \frac{C_{XY}(\tau)}{\sigma_X\sigma_Y} rXY(τ)=σXσYCXY(τ)
- 互协方差函数： C X Y ( t 1 , t 2 ) = C X Y ( τ ) C_{XY}(t_1,t_2) = C_{XY}(\tau) CXY(t1,t2)=CXY(τ)
- 正交：对任意 τ \tau τ， r X Y ( τ ) r_{XY}(\tau) rXY(τ) 均为 0 0 0，就是说过程 X ( t ) X(t) X(t) 和过程 Y ( t ) Y(t) Y(t)完全不相关（线性）。可以用 E [ X ( t ) Y ( t + τ ) ] = 0 E[X(t)Y(t+\tau)] = 0 E[X(t)Y(t+τ)]=0 来表示两过程正交。
⭐️ 注意区分独立和不相关，独立的定义要比不相关更加严格。 - 互相关函数性质：
- R X Y ( τ ) = R Y X ( − τ ) R_{XY}(\tau) = R_{YX}(-\tau) RXY(τ)=RYX(−τ)
- ∣ R x y ( τ ) ∣ 2 ≤ R X ( 0 ) R Y ( 0 ) |R_{xy}(\tau)|^2\le R_X(0)R_Y(0) ∣Rxy(τ)∣2≤RX(0)RY(0)