矩阵分析

要期末考试了，做一些矩阵分析的笔记(LaTeX公式编辑器网址：https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php)
一些定理：
1.矩阵A的特征多项式的根一定是最小特征多项式的根，反过来，最小多项式的根也一定是特征多项式的根。
2.==子空间的定义是：==设W是P上的线性空间V的非空子集，则W是V的线性子空间的充要条件是
1）若α，β∈W，则α+β∈W；
2）若α∈W，k∈P，则kα∈W.
{0}及V本身也是V的子空间，这两个子空间是V的平凡子空间.
维数定理：

V1+V2是直和的充要条件是：V1∩V2={0}.
3.线性变换的定义：
设T是V上的变换，如果对于任意的α，β∈V及k∈P都有
T(α+β)=Tα+Tβ , T(kα)=kTα.
4.讨论一种构成子空间的方法，即用线性变换定义的子空间，一个是像子空间，一个是核子空间.
像：

核：

5.维数定理：
设T是n维空间上的线性变换，则

6.根据线性变换与矩阵之间的联系，利用Ｊｏｒｄａｎ标准型给出线性变换的核空间与像空间构成直和的条件，即线性变换的特征值不含零，或以零为特征值的Ｊｏｒｄａｎ块均为一阶。
7.矩阵求导法则：
https://wenku.baidu.com/view/6928f349767f5acfa1c7cd43?sfr_fb=0


8.

9. 矩阵的乘法是满足结合律的：ABC=A（BC）
10. d(A’BA)/dx = (dA/dx)‘BA+A’(dB/dx)A+A’B(dA/dx)（A,B都是x的函数）
11. 矩阵函数求导法则：https://wenku.baidu.com/view/2ba00502cc17552707220863.html


12.矩阵A的特征多项式的根一定是最小多项式的根，反过来，最小多项式的根也一定是特征多项式的根。最小多项式的求法：首先判断比特征多项式低一阶的多项式，将A带入是否为0，若为0则为最小多项式，若不为0继续降次带入A；若多次带入均不为零，则最小多项式为特征多项式。
最小多项式和特征多项式的关系：最小多项式能够整除特征多项式。
n阶复数矩阵A的最小多项式m(λ)就是A的最后一个不变因子d(λ)。
13.向量和矩阵的乘法：用向量的各个数分别乘矩阵第1列的各个数 之 和 得新向量的第1列的数。
14.正交变换定义：

15.矩阵A列满秩，则AX=0只有零解。证明：
A=(a1,…,an) 列满秩, 即A的列向量组a1,…,an线性无关。所以, 若 x1a1+…+xnan = 0 , 则必有 x1=…=xn=0，即 Ax=0 只有零解。
16.向量b在基a下的坐标表示为：
b=(a1,a2,…,an)(x1,x2,…,xn)^T
矩阵T在基a下的矩阵A表示为：
Ta=T(a1,a2,…,an)=(a1,a2,…,an)*A
17.内积空间定义：设V是复数域C上的线性空间，如果对V中的任意向量a,b，都有一个复数(a,b)与之对应，且满足如下条件，则(a,b)称为V的内积：

4)(α,α)≥0当且仅当α=0时(α,α)=0
这时V称为复内积空间或者酉空间
18.特征值的定义：设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。
19.酉矩阵的定义：若一n行n列的复数矩阵U满足：

其中UH为U的共轭转置，En为n阶单位矩阵，则U称为酉矩阵。
若A为厄米特矩阵，则

正规矩阵：设A∈C^(n*n),且

则A称为正规矩阵。正规矩阵一定可以对角化，即存在酉矩阵U使得

对角线元素为A的特征值。
20.若A是一个矩阵，φ(A)是一个多项式，φ(A)=0，这种多项式叫做矩阵A的零化多项式。
21.若A的零化多项式中，次数最低的首项系数为1的多项式，称为矩阵A的零化多项式，记作m(λ).
最小多项式能够整除零化多项式。
矩阵A的最小多项式唯一。
矩阵A的特征多项式的根一定是最小多项式的根，反过来，最小多项式的根也一定是特征多项式的根。
矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。（矩阵A有n个互不相同的特征值，则A有n个线性无关的特征向量，A可对角化。）