写一个函数，输入n，求斐波拉契数列的第n项。
斐波拉契数列：1,1,2,3,5,8...，当n大于等于3时，后一项为前面两项之和。
解：方法1：从斐波拉契数列的函数定义角度编程
#include<stdio.h>
int fibonacci(int n)
{
int num1=1, num2=1, num3=0,i;
if (n <= 2)
{
printf("斐波拉契数列的第%d项为:%d\n",n,num1);
}
else
{
for (i = 2; i < n; i++)
{
num3 = num1 + num2;
num1 = num2;
num2 = num3;
}
printf("斐波拉契数列的第%d项为:%d\n", n, num3);
}
return 0;
}
int main()
{
int num=0;
printf("请输入一个正整数:");
scanf("%d", &num);
fibonacci(num);
return 0;
}
结果：
请输入一个正整数:3
斐波拉契数列的第3项为:2
请按任意键继续. . .
方法2：递归调用，很明显优化了代码量
#include<stdio.h>
int fibonacci(int n)
{
if (n <= 0)
{
return 0;
}
if (n == 1)
{
return 1;
}
return fibonacci(n-1)+ fibonacci(n - 2);
}
int main()
{
int num = 0,ret=0;
printf("请输入一个正整数:");
scanf("%d", &num);
ret=fibonacci(num);
printf("斐波拉契数列的第%d项为:%d\n", num,ret);
return 0;
}
结果：
请输入一个正整数:4
斐波拉契数列的第4项为:3
请按任意键继续. . .
方法3：提高递归的效率，把已经求得的中间项保存起来，就不用再重复进行计算了；其本质相当于方法一的思想
#include<stdio.h>
int fibonacci(int n)
{
int num1 = 1, num2 = 1, num3 = 0, i=0;
if (n <= 2)
{
return num1;
}
for (i = 2; i < n; i++)
{
num3 = num1 + num2;
num1 = num2;
num2 = num3;
}
return num3;
}
int main()
{
int num = 0,ret=0;
printf("请输入一个正整数:");
scanf("%d", &num);
ret=fibonacci(num);
printf("斐波拉契数列的第%d项为:%d\n", num,ret);
return 0;
}
结果：
请输入一个正整数:3
斐波拉契数列的第3项为:2
请按任意键继续. . .
方法4：直接运用数学公式法：f(n)={[(1+5^0.5)/2]^n - [(1-5^0.5)/2]^n}/(5^0.5)
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int fibonacci(int n)
{
return (pow((1+sqrt(5.0))/2,n)- pow((1 - sqrt(5.0)) / 2, n))/ sqrt(5.0);
}
int main()
{
int num = 0, ret = 0;
printf("请输入一个正整数:");
scanf("%d", &num);
ret = fibonacci(num);
printf("斐波拉契数列的第%d项为:%d\n", num, ret);
return 0;
}
结果：
请输入一个正整数:4
斐波拉契数列的第4项为:3
请按任意键继续. . .
方法5：生僻的数学公式法
f(n) f(n-1) = 1 1
[ ] [ ]^(n-1)
f(n-1) f(n-2) 1 0
该公式可用数学归纳法进行证明，在矩阵乘法的变换证明过程中，要注意运用斐波拉契数列的性质：后一项为前面两项之和；该数学公式，应用矩阵的乘法，时间效率虽然低，但不够实用，源码太过繁琐，提供如下代码仅供参考
#include <cassert>
struct Matrix2By2
{
Matrix2By2
(
long long m00 = 0,
long long m01 = 0,
long long m10 = 0,
long long m11 = 0
)
:m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11)
{
}
long long m_00;
long long m_01;
long long m_10;
long long m_11;
};
Matrix2By2 MatrixMultiply
(
const Matrix2By2& matrix1,
const Matrix2By2& matrix2
)
{
return Matrix2By2(
matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
}
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
assert(n > 0);
Matrix2By2 matrix;
if (n == 1)
{
matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
}
else if (n % 2 == 0)
{
matrix = MatrixPower(n / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
}
else if (n % 2 == 1)
{
matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
}
return matrix;
}
long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)
{
int result[2] = { 0, 1 };
if (n < 2)
return result[n];
Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
return PowerNMinus2.m_00;
}
// ====================测试代码====================
void Test(int n, int expected)
{
if (Fibonacci_Solution1(n) == expected)
printf("Test for %d in solution1 passed.\n", n);
else
printf("Test for %d in solution1 failed.\n", n);
if (Fibonacci_Solution2(n) == expected)
printf("Test for %d in solution2 passed.\n", n);
else
printf("Test for %d in solution2 failed.\n", n);
if (Fibonacci_Solution3(n) == expected)
printf("Test for %d in solution3 passed.\n", n);
else
printf("Test for %d in solution3 failed.\n", n);
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
Test(0, 0);
Test(1, 1);
Test(2, 1);
Test(3, 2);
Test(4, 3);
Test(5, 5);
Test(6, 8);
Test(7, 13);
Test(8, 21);
Test(9, 34);
Test(10, 55);
Test(40, 102334155);
return 0;
}
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