C++矩阵及其加速—————求斐波拉契数列第n项讲解

前言:

也许你只是不小心点入了此博客，为了不眛自己的良心，首先我们会介绍什么是矩阵。

概念：

在数学中，矩阵(Matrix)是一个按照长方阵列排列的实数或复数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

由m×n个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作：

而矩阵中的各个元素就是元。

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。n阶方阵中所有i=j的元素aij组成的斜线称为(主)对角线，所有i+j=n+1的元素aij组成的斜线称为辅对角线。

矩阵的运算：

一、加法

矩阵的加法就是两个同行同列的矩阵中的各个对应元素相加，即 $c[i][j]=b[i][j]+a[i][j]$ ；

当然加法也适用运算律。

交换律： $A+B=B+A$ ；

结合律： $A+(B+C)=(A+B)+C$ ；

二、减法

矩阵的减法与加法类似，也是两个同行同列的矩阵中的各个对应元素相减，即 $c[i][j]=b[i][j]-a[i][j]$ ；

三、数乘

矩阵的数乘就是一个矩形中的每个元素与数相乘，即 $c[i][j]=a[i][j]*n$ ；

数乘也有运算律：

分配律： $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$ ；

结合律： $\lambda \mu A=\lambda( \mu A )$ ；

三、转置

矩阵的转置就是一个矩阵的行转成列，列转成行，即：

$\begin{bmatrix} 2 & 4& 8\\ 5&1 & 7 \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} 5 & 2\\ 1& 4\\ 7& 8 \end{bmatrix}$

而矩阵的运算还有共轭和共轭转置，在此就不必多讲。

矩阵的乘法：

也许你会看到题目会有些迷惑，为什么还要讲矩阵的乘法，数乘不就是吗？

开始我也是十分的迷。

现在我才知道这是矩阵乘以矩阵。

但是该怎么算呢？

两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和第二个矩阵B的行数相等时才能定义(做乘法)。如A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，它们的乘积C是一个m×p矩阵C=(cij)，它的任意一个元素值为：

矩阵的乘法运算满足结合律、左分配率、右分配律，但是不满足交换律。即：

(AB)C=A(BC)，

(A+B)C=AC+BC，

C(A+B)=CA+CB，

AB不一定能BA(除非行列完全一样)。

而代码就有两种了：

朴素法：

#include<cstdio>
#include<iostream>
int an,a[105][105],b[105][105],c[105][105],am,bn,bm;
int main()
{
    scanf("%d%d",&an,&am);
    for(int i=1;i<=an;i++)
        for(int j=1;j<=am;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    bn=am;
    scanf("%d",&bm);
    for(int i=1;i<=bn;i++)
        for(int j=1;j<=bm;j++)
            scanf("%d",&b[i][j]);
    for(int i=1;i<=an;i++)
        for(int j=1;j<=bm;j++)
            for(int k=1;k<=am;k++)
                c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
}

结构体重载运算符法（~~装B法~~）：

node operator*(const node &a)
{
        node r;
        r.n=n;
        r.m=a.m;
        for(int i=1;i<=r.n;i++)
            for(int j=1;j<=r.m;j++)
                for(int k=1;k<=m;k++)
                    r.c[i][j]=(r.c[i][j]+(c[i][k]*a.c[k][j])%mod)%mod;
        return r;
}

矩阵的行列式：

一个n×n的方阵A的行列式记为det(A)或者|A|，一个2×2矩阵的行列式可表示如下：

把一个n阶行列式中的元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij。记Aij=(-1)i+jMij，叫做元素aij的代数余子式。例如：

一个n×n矩阵的行列式等于其任意行(或列)的元素与对应的代数余子式乘积之和，即：

题目描述：

输入：

输入n，m。

输出：

输入样例：

5 1000

输出样例：

思路分析：

由题目我们可知，这一题使用的是矩阵加速，而矩阵加速究竟是个什么东西？

我们首先要知道矩阵A × 矩阵B = 矩阵C，矩阵C一定是A的行B的列；如果我们构造一个矩阵B，它的行列数恰好是矩阵A列数的方阵，那么矩阵C的行列数一定和矩阵A完全一样！

比如：矩阵A是(m行n列)，矩阵B是(n行n列)，那么相乘之后，矩阵C一定是(m行n列)。

那我们就可以构造A，B矩阵来求答案了。

A为 $[f_{1}\;\;f_{2}]$ ，B为 $\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1& 1 \end{bmatrix}$ ；

再用快速幂就可以求出答案，答案在A[1][2]；

代码实现：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
ll n1,mod;
struct node{
    ll n,m,c[10][10];
    node ()
    {
        memset(c,0,sizeof(c));
    }
    node operator*(const node &a)
    {
        node r;
        r.n=n;
        r.m=a.m;
        for(int i=1;i<=r.n;i++)
            for(int j=1;j<=r.m;j++)
                for(int k=1;k<=m;k++)
                    r.c[i][j]=(r.c[i][j]+(c[i][k]*a.c[k][j])%mod)%mod;
        return r;
    }
}b,f1;
node qkpow(node a,ll p)
{
    node res;
    res.n=res.m=2;
    for(int i=1;i<=res.n;i++)
        res.c[i][i]=1;
    while(p)
    {
        if(p&1)
            res=res*a;
        a=a*a;
        p/=2;
    }
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n1,&mod);
    b.n=2;
    b.m=2;
    b.c[1][2]=1;
    b.c[2][1]=1;
    b.c[2][2]=1;
    node t;
    t=qkpow(b,n1-2);
    f1.n=1;
    f1.m=2;
    f1.c[1][1]=1;
    f1.c[1][2]=1;
    f1=f1*t;
    printf("%lld",f1.c[1][2]);
}