约数函数的等价变换

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先看看两道题：
BZOJ 4176 - Lucas的数论
51Nod 1220 - 约数之和
这两题，一个是求 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\sigma_0(i j)$，一个是求 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\sigma_1(ij)$，很自然的让人联想到求 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\sigma_k(ij)$。更巧合的是，两题的起点都在一个对 $\sigma$ 的转换上。具体而言，对 $\sigma_0(n)$ 可以转化为 $\displaystyle\sum_{i|n}\displaystyle\sum_{j|m}[gcd(i,j)=1]$，对 $\sigma_1(n)$ 可以转化为 $\displaystyle\sum_{s|m}\displaystyle\sum_{t|n}\frac{mt}{s}[gcd(s,t)=1]$。尤其是在对后者有一个感性认识后能自然联想到这样的转换： $\sigma_k(n)=\displaystyle\sum_{s|m}\displaystyle\sum_{t|n}\frac{m^kt^k}{s^k}[gcd(s,t)=1]$，并且的确可以通过归纳证明。这在处理 $\sigma_k$ 相关问题时可以作为一个思考方向。