中国最早的幻方可以上溯到2千年以前,真是早熟的中国人啊
中国古代研究幻方的第一人是南宋的杨辉,他给出了从3阶到10阶的幻方,其中4阶和8阶幻方各给出两图,称之为阴图和阳图(又是典型的中国人思考方式)
最近常在起点上看小说,幻想着灵魂出窍,回到古代如何如何的风光无限,其实冷静的想想,这不过是那些作者无知的yy而已,即使给他一个月光宝盒回到过去,
99.9999...%的几率仍然是让我们的老祖宗玩死,呵呵,扯远了
对于3阶幻方,杨辉给出口诀:
九子斜排 上下对易 左右相更 四维挺出
戴九履一 左三右七 二四为肩 六八为足
这就是3阶幻方的构造过程,具体的说就是:
九子斜排,排成如下格式
1
4 2
7 5 3
8 6
9
上下对易,就是上面的1和下面的9互换
9
4 2
7 5 3
8 6
1
左右相更,就是左边的7和右边的3互换
9
4 2
3 5 7
8 6
1
四维挺出,就是把四个边上的2,4,6,8挺出去
4 9 2
3 5 7
8 1 6
这就是3阶幻方的结果,后四句又对它进行了具体的描述
如果把3阶幻方想象成一只灵龟,那么
戴九履一:头是9,底是1
左三右七:左边是3,右边是7
二四为肩:2,4作为肩
六八为足:6,8作为足
这个歌诀许多人都很熟悉,因为金庸曾在射雕英雄传中借黄蓉之口说过一次
对于4阶幻方,最简单的一种应该是这样
先做排列
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
然后对角线上做中心对称变换
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
这就是一个4阶幻方
幻方的数量:
与我们大多数人的常识不同,幻方的数量不是唯一的,而且也不是一个简单的问题
3阶幻方只有1种
4阶幻方有880种,通过旋转和反射,总共可以有7040个幻方
5阶幻方有275 305 224个,这是用计算机算的
6阶幻方,大概是1.7743*10**19~1.7766*10**19之间,这是用统计学方法计算的,居然计算机也算不出来,更不要说6阶以上的幻方数量了
幻方的构造方法:
因为幻方的数量是如此的大,不可能有通用的构造方法,每种构造方法也只能解决一种特殊的构造方法
对2n+1阶的幻方:常用的有连续摆数法,阶梯法,奇偶数分开的菱形法
对2(2m)阶的幻方:常用的有对称法,对角线法,比例放大法
对2(2m+1)阶的幻方:常用的有斯特雷奇法,LUX法
对任意阶幻方:常用的方法有拉伊尔法和镶边法,不过这两个通用方法其实也相当复杂,也需要对不同的情况区别对待
比较另类的构造方法是相乘法,例如通过3阶幻方*4阶幻方得到12阶幻方
听起来更象是矩阵乘法,但是其实规则出奇的简单
更特殊的,我们可以通过3阶幻方*3阶幻方得到9阶幻方,3阶幻方*3阶幻方*3阶幻方得到27阶幻方...,又有点象分形了
使用计算机根据以上算法构造幻方是很简单的事情,但一般没有人选择比较复杂的任意阶幻方算法
如果从人的理解角度来说:
对2n+1阶的幻方,阶梯法是最好理解的,当然连续摆数法也不错
对2(2m)阶的幻方,对称法是最好理解的,当然对角线法也不错
对2(2m+1)阶的幻方:人理解起来就有些费尽了,这也是2(2m+1)阶的幻方直到1918年才被斯特雷奇找到一种构造方法的原因
阶梯法:
构造2n+1阶幻方
其实可以理解为杨辉构造3阶幻方口诀的扩展
第一步,斜排:
1
4 2
7 5 3
8 6
9
第二步,围城:
从中心向四周走n步,这就是最后幻方的范围,具体到这个例子就是把1,3,9,7化在了范围之外
1
4 2
7 5 3
8 6
9
第三步,入城:
把外围的数字拉到城里来,规则是写入到中心对称的空位,具体到这个例子就是把1写到8和6的中间,3写到6,8的中间,9写到4,2的中间,7写到2,6的中间
4 9 2
3 5 7
8 6 4
有兴趣再写出5阶幻方的阶梯法构造:
斜排:
01
06 02
11 07 03
16 12 08 04
21 17 13 09 05
22 18 14 10
23 19 15
24 20
25
围城,入城:
11 24 07 20 03
04 12 25 08 16
17 05 13 21 09
10 18 01 14 22
23 06 19 02 15
确实非常的简单
对称法:
构造2(2m)阶幻方,这里以8阶幻方为例
第一步:分块
把阵形分成四块,每块为4*4的方阵
00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00
第二步:布桩
对任意一块小方阵,例如左上的方阵,每行每列任取m个元素,打上暗桩
xx 00 xx 00 00 00 00 00
00 xx 00 xx 00 00 00 00
00 xx 00 xx 00 00 00 00
xx 00 xx 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00
第三步:对称,把已经布桩的小方阵按照中心对称和镜像对称扩展到其余方阵
xx 00 xx 00 00 xx 00 xx
00 xx 00 xx xx 00 xx 00
00 xx 00 xx xx 00 xx 00
xx 00 xx 00 00 xx 00 xx
xx 00 xx 00 00 xx 00 xx
00 xx 00 xx xx 00 xx 00
00 xx 00 xx xx 00 xx 00
xx 00 xx 00 00 xx 00 xx
第四步:入阵
从左上角开始把1到64按照从左到右,从上到下的顺序写入方阵,遇到暗桩不写
xx 02 xx 04 05 xx 07 xx
09 xx 11 xx xx 14 xx 16
17 xx 19 xx xx 22 xx 24
xx 26 xx 28 29 xx 31 xx
xx 34 xx 36 37 xx 39 xx
41 xx 43 xx xx 46 xx 48
49 xx 51 xx xx 54 xx 56
xx 58 xx 60 61 xx 63 xx
从右下角开始把1到64按照从右到左,从下到上的顺序写入方阵,遇到暗桩才写
64 02 62 04 05 59 07 57
09 55 11 53 52 14 50 16
17 47 19 45 44 22 42 24
40 26 38 28 29 35 31 33
32 34 30 36 37 27 39 25
41 23 43 21 20 46 18 48
49 15 51 13 12 54 10 56
08 58 06 60 61 03 63 01
这就是一个8阶幻方
也是非常简单的
幻方模式:
以上的幻方都是正规的幻方,也就是从1开始的连续数,如果要求不从1开始,或者非连续数列构造幻方,就需要幻方模式,例如3阶幻方的模版
a+b a-b-c a+c
a-b+c a a+b-c
a-c a+b+c a-b
这是法国大数学家鲁卡斯构造的,任意行列的和都是3a,另a=5,b=-1,c=-3代入公式就是正规的3阶幻方
其实这个幻方模版可以从3阶幻方推导出来
4 9 2
3 5 7
8 1 6
先把每一项都-1,因为从0开始计数更清晰一些
3 8 1
2 4 6
7 0 5
把每一项用3机制表示
010 022 001
002 011 020
021 000 012
按照0对应1,1对应0,2对应-1的规则,也就是1-a的规则得到a,b,c项的系数
a+c a-b-c a+b
a+b-c a a-b+c
a-b a+b+c a-c
这就是3阶幻方的模式
幻方模式应该是一个很有趣的研究方向,人们几乎为所有阶的幻方设计了许多精巧的模式,但是网上相关的资料其实并不多,我还是以后再继续玩吧
参考资料:娱乐数学<<幻方及其他>>