7.3 朴素贝叶斯分类器

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朴素：属性条件独立性假设。即假设每个属性独立地对分类结果发生影响。

朴素贝叶斯分类器重写了书中的式(7.8)为：
$P(c|x) = \frac{P(c)P(x|c)}{P(x)} = \frac{P(c)}{P(x)}\prod_{i=1}^d P(x_i|c)$
其中， $\prod_{i=1}^d P(x_i|c) = P(x_1|c)* P(x_2|c)*\dots * P(x_n|c)$ 。
d为属性数目， $x_i$为 $x$在第i个属性上的取值。

基于书中式(7.6)，即 $h^*(x) = \underset{c\epsilon{y}}{\arg\max} P(c|x)$ ,基于该式，将式(7.8)代入，（由于P(x)对所有类别来说是相同的，可以省略），可以得到下面：
$h_{nb}(x) = \underset{c\epsilon{y}}{\arg\max} P(c)\prod_{i=1}^d P(x_i|c)$
这就是朴素贝叶斯分类器的表达式。
即给定x的情况下，贝叶斯分类器最可能出现的情况c，P(x)省略。

• 令 $D_c$ 表示训练集D中第c类样本组成的集合，若有充足的独立同分布样本，则可容易地估计出类先验概率：
  $P(c) = \frac{|D_c|}{|D|}$
  （1）对离散属性而言，令 $D_{c,x_i}$表示 $D_c$中在第i 个属性上取值为 $x_i$ 的样本组成的集合，则条件概率 $P(x_i | c)$可估计为: $\red{(这里不是绝对值，而表示集合大小)}$
  $P(x_i|c) = \frac{|D_{c,x_i}|}{|D_c|}$
  （2）对连续属性可考虑概率密度函数，假定 $p(x_i|c)~N(\mu_{c,i},\sigma^2_{c,i})$，其中 $\mu_{c,i}和\sigma^2_{c,i}$分别是第c类样本在第i个属性上取值的均值和方差，则有：
  $P(x_i|c) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{c,i}} exp(- \frac{(x_i-\mu_{c,i})^2}{2\sigma^2_{c,i}})$

以下针对西瓜书P151中的例子进行验算：

可参考这篇文章

利用朴素贝叶斯算法训练出一个分类器,以判断一个具有特征{色泽=青绿，根蒂=蜷缩，敲声=浊响，纹理=清晰，脐部=凹陷，触感=硬滑，密度=0.697，含糖率=0.460}的测试样例（“测1”）瓜( $x_{test}$ )是否为好瓜。