洛谷P2023 [AHOI2009]维护序列

题目链接：

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2023

题目描述

老师交给小可可一个维护数列的任务，现在小可可希望你来帮他完成。有长为N的数列，不妨设为a1,a2,…,aN 。有如下三种操作形式：
(1)把数列中的一段数全部乘一个值;
(2)把数列中的一段数全部加一个值;
(3)询问数列中的一段数的和，由于答案可能很大，你只需输出这个数模P的值。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个整数N和P(1≤P≤1000000000）。
第二行含有N个非负整数,从左到右依次为a1,a2,…,aN, (0≤ai≤1000000000,1≤i≤N)。
第三行有一个整数M，表示操作总数。
从第四行开始每行描述一个操作，输入的操作有以下三种形式：
操作1：“1 t g c”(不含双引号)。表示把所有满足t≤i≤g的ai改为ai×c(1≤t≤g≤N,0≤c≤1000000000)。
操作2：“2 t g c”(不含双引号)。表示把所有满足t≤i≤g的ai改为ai+c (1≤t≤g≤N,0≤c≤1000000000)。
操作3：“3 t g”(不含双引号)。询问所有满足t≤i≤g的ai的和模P的值 (1≤t≤g≤N)。
同一行相邻两数之间用一个空格隔开，每行开头和末尾没有多余空格。

输出格式：

对每个操作3，按照它在输入中出现的顺序，依次输出一行一个整数表示询问结果。

输入输出样例

输入样例#1：

7 43
1 2 3 4 5 6 7
5
1 2 5 5
3 2 4
2 3 7 9
3 1 3
3 4 7

输出样例#1：

2
35
8

解题思路：

线段树模板，同时涉及到了加法和乘法，难点在于lazy标记的向下传递。

lazy标记传递部分：

因为线段树的每个节点都表示一段区间的和，可以将根节点的值线性的记成ax+b，左孩子节点的值记成a'x+b'。现在如果根节点有一个乘法标记k和加法标记n，这时候根节点的值可以记成k(ax+b)+n=(ka)x+(kb+n)，即往下传递时左孩子乘法的lazy标记为：k*a'，加法标记为：k*b'+n。

区间和更新部分：

同理按照先算乘法再算加法的思路，对于左孩子的区间和lsum，可更新为lsum=lsum*lazy_mul[root]+lazy_add[root]*(左孩子对应的区间长度)，对于右孩子同理。

更详细证明见：https://www.luogu.org/blog/ZJLOIJR/solution-p2023

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long 
using namespace std;
ll n,p;
const ll N=200000+10;//数组空间要开够，不然容易RE 
ll a[N<<2];
ll sum[N<<2],lazy[N<<2],lazym[N<<2];
void build(ll pos,ll l,ll r){
    lazy[pos]=0;lazym[pos]=1;
    if(l==r){
        sum[pos]=a[l]%p;return;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;
    build(pos<<1,l,mid);
    build(pos<<1|1,mid+1,r);
    sum[pos]=(sum[pos<<1]+sum[pos<<1|1])%p;
}
void pushDown(ll pos,ll m){
    if(lazy[pos]!=0||lazym[pos]!=1){
        sum[pos<<1]=(sum[pos<<1]*lazym[pos]+lazy[pos]*(m-(m>>1)))%p;
        sum[pos<<1|1]=(sum[pos<<1|1]*lazym[pos]+lazy[pos]*(m>>1))%p;
        
        lazym[pos<<1]=(lazym[pos<<1]*lazym[pos])%p;
        lazym[pos<<1|1]=(lazym[pos<<1|1]*lazym[pos])%p;
        
        lazy[pos<<1]=(lazy[pos<<1]*lazym[pos]+lazy[pos])%p;
        lazy[pos<<1|1]=(lazy[pos<<1|1]*lazym[pos]+lazy[pos])%p;
    //    lazy[pos<<1|1]=(lazy[pos<<1|1]+lazy[pos]*lazym[pos])%p;
        
        lazy[pos]=0;
        lazym[pos]=1;
    }
}
void add(ll pos,ll l,ll r,ll a,ll b,ll c){
    pushDown(pos,r-l+1);
    if(a>r||(b<l)) return;
    if(a<=l&&r<=b){
        lazy[pos]=(lazy[pos]+c)%p;
        sum[pos]=(sum[pos]+c*(r-l+1))%p;
        return;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;
       add(pos<<1,l,mid,a,b,c);
    add(pos<<1|1,mid+1,r,a,b,c);
    sum[pos]=(sum[pos<<1]+sum[pos<<1|1])%p;
}
void mul(ll pos,ll l,ll r,ll a,ll b,ll c){
    pushDown(pos,r-l+1);//每一次更新加法和乘法时一定要先把lazy标记往下传，再更新 
    if(a>r||(b<l)) return;
    if(a<=l&&r<=b){
        lazym[pos]=(lazym[pos]*c)%p;//乘法时不需要再更新加法的lazy标记 
        sum[pos]=(sum[pos]*c)%p;
        return;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;
    mul(pos<<1,l,mid,a,b,c);
    mul(pos<<1|1,mid+1,r,a,b,c);
    sum[pos]=(sum[pos<<1]+sum[pos<<1|1])%p;
} 
ll quiry(ll pos,ll l,ll r,ll a,ll b){
    pushDown(pos,r-l+1);
    if(a>r||(b<l)) return 0;
    if(a<=l&&r<=b){
        return sum[pos]%p;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;
    return (quiry(pos<<1,l,mid,a,b)+quiry(pos<<1|1,mid+1,r,a,b))%p;
}
int main(int argc, char** argv) {
    
    scanf("%lld %lld",&n,&p);
    for(ll i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    
    build(1,1,N);
    ll m;scanf("%lld",&m);
    while(m--){
        ll op;scanf("%lld",&op);
        if(op==1){
            ll x,y,c;scanf("%lld %lld %lld",&x,&y,&c);
            mul(1,1,N,x,y,c);
        }
        else if(op==2){
            ll x,y,c;scanf("%lld %lld %lld",&x,&y,&c);
            add(1,1,N,x,y,c);
        }
        else if(op==3){
            ll x,y;scanf("%lld %lld",&x,&y);
            ll ans=quiry(1,1,N,x,y);
            printf("%lld\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}