一、引入
上一篇提到插值多项式，几次函数就称为几次样条函数如，
二次样条函数为：f(x) = a*x^2 + b*x + c
三次样条函数为：f(x) = a*x^3 + b^x^2 + c*x +d
x=[1,3,5,7,9];
y=[2,4,6,8,10];有5个节点，4个区间
对于二次样条函数，需要求4*3 = 12个参数，根据已知端点（1，5）：2个方程；中间曲线方程在节点处的值必须相等（2，3，4）：3*2 = 6个方程；中间节点处的一阶导数的值必须相等（2，3，4）：3个方程；假设第一个方程的二阶导数为0，即a1=0，1个方程；一共 2+6+3+1=12个方程。
对于三次样条函数4*4=16个参数，也就是找出16个方程就解决了问题，除与上面相同外，中间的二阶导相等，3个方程，假设第一个方程的二阶导数为0，即a1=0，b1=0,2个方程，一共16个方程。
二、原理
简而言之，就是依然对每一个小区间进行插值(每一个区间都是一个三次多项式)，但是我们不需要依赖于导数的已知；由于我们要做的就是使得端点出满足某种条件的光滑（一般来说，三次样条插值就是要满足二阶导数连续），根据这个要求，我们就可以在未知导数的情况下推导出样条函数。具体方法看下面
样条函数确定：
N个区间上，每个区间求三次样条插值函数，显然一共需要4n个条件
依然按照第一部分的方法，对中间点区间段，端点，这里分为对中间的节点部分显示条件，隐式条件
1. 显式条件：
对于给定节点：
函数值：
对于样条函数S(x)，满足：
则n个区间各有2个条件，共2n个。
2. 隐式条件：
三次样条插值，一次导数连续且二次导数连续，即满足：
这样，n个区间可以找出n-1对导数相等条件。至此，可以找出2n+2(n-1) = 4n-2个条件。
3. 边界条件：
一般来说，在整个插值区间[a,b]上，会对边界[a,b]端点有状态的要求。这就是边界条件，有了这两个边界条件，就得到了需要的4n个条件。
边界条件一般有三种：
1） 一阶条件
即，给出端点处的一阶导数值。
2） 二阶条件
即，给出端点处的二阶导数值。
3） 循环（周期）条件
即，f(x)是一个周期函数时，端点a，b处的一阶导数值、二阶导数值分别相等。
具体解法：
设分段样条函数s(x)在0到n个节点处的二阶导数值，为：
那么，在区间
上，
显然是线性函数，且知：
那么，显然可以由线性插值，得到每一区间
的线性表达式。
积分两次，就可以得到每一个
。
积分，得:每一区间上的样条函数 ：
对于引入的两个常数c1,c2,使用两个边界条件，自然可以求解得到：
对所有区间，整理后得到关于Mj-1,Mj,Mj+1的方程：
其中：
这称作“三弯矩方程”。
最终，由着n-1个方程，再加两个边界条件（这里我使用一阶条件），直接带入，联立n+1个方程，得到：
至此，样条插值变为求解此矩阵形式的方程组。
可以看到，系数矩阵严格对角占优，矩阵可逆，方程组存在唯一解，从而可以解出M0…Mn。而此方程组的解法并不困难，计算非常快捷
三、三次样条插值总结
根据上述求解系数方程总结为矩阵形式
算法总结
参考：
三次样条插值： https://blog.csdn.net/flyingleo1981/article/details/53008931/