Cubic spline（三次样条插值）

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自己以前上过数值分析这门课，用的是[1]这本教材，三次样条插值这一节，当时似乎看明白了，但在实际碰到它时，总觉得很神秘，也很心虚。过了好几年之后，想彻底理解这个cubic spline，就翻开以前的书看，看了老半天才看明白，上面写着很多乱七八糟的公式（当然也是有意义的），应该会像以前很快忘掉它们。之前看过Andrew NG写过的机器学习讲义，上面把各个公式娓娓道来，感觉很自然，也就理解的更深。于是乎，自己就在网上找老外是怎么讲这个的，[3]wiki百科也讲的迷迷糊糊的，后来搜到[2]，直接醍醐灌顶。

已知函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的 $n+1$ 个节点

$a = x_{0}$

上的值 $y_{i} = f(x_{i})(i = 0, 1, \cdots, n)$ ，求插值函数 $S(x)$ ，使得:

$S(x_{i}) = y_{i}\quad (i = 0, 1, \cdots, n)$ ；
在每个小区间 $[x_{j-1}, x_{j}](j = 1, 2, \cdots, n)$ 上 $S(x)$ 是三次多项式，记为 $C_{j}(x)$ ；
$S(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶连续可微，

则函数 $S(x)$ 称为 $f(x)$ 的三次样条插值函数，

$S(x) = \left\{\begin{array}{ll}C_{1}(x), & x_{0}\leq x \leq x_{1}\\ C_{i}(x), &x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\\ C_{n}(x), & x_{n-1} \leq x \leq x_{n}\end{array}\right.$

其中 $C_{i}$ 是三次方函数，具有如下形式：

$C_{i}(x) = \alpha_{i}+b_{i}x+c_{i}x^{2}+d_{i}x^{3}$

因此只要确定了这些系数 $\alpha_{i}, b_{i}, c_{i}, d_{i}$ ，就计算出了 $S(x)$ ，一共有 $4n$ 个系数需要确定。

首先根据 $S(x_{i}) = y_{i}\quad (i = 0, 1, \cdots, n)$ ，可得：

$C_{i}(x_{i-1}) = y_{i-1}$ and $C_{i}(x_{i}) = y_{i}$

则可得到 $2n$ 个方程：

$\alpha_{i}+b_{i}x_{i-1}+c_{i}x_{i-1}^{2}+d_{i}x_{i-1}^3=y_{i-1}$ and $\alpha_{i}+b_{i}x_{i}+c_{i}x_{i}^{2}+d_{i}x_{i}^{3}=y_{i}$

另外根据 $S(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶连续可微，我们需要在点 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n-1}$ 上：

$C_{i}^{'}(x_{i})=C_{i+1}^{'}(x_{i})$

$C_{i}^{''}(x_{i})=C_{i+1}^{''}(x_{i})$

这两个方程可以写成：

$b_{i}+2c_{i}x_{i}+3d_{i}x_{i}^{2}=b_{i+1}+2c_{i+1}x_{i}+3d_{i+1}x_{i}^{2}$

$2c_{i}+6d_{i}x_{i}=2c_{i+1}+6d_{i+1}x_{i}$

这里有 $2(n-1)$ 个方程，加上之前的 $2n$ 个，目前总共有 $4n-2$ 个方程，而未知量有 $4n$ 个，这时就需要边界条件来提供两个方程，常用的边界条件有以下三种：

给定两端点处的导数值, $S^{'}(a)=y_{0}^{'}$ $S^{'}(b)=y_{n}^{'}$ 。特别地，当 $y^{'}_{0}=y_{n}^{'} = 0$ 时，样条曲线在端点处呈水平状态。
给定两端点处的二阶导数值 $S^{''}(a)=y_{0}^{''}$ , $S^{''}(b)=y_{n}^{''}$ 。特别地，当 $y^{''}_{0}=y_{n}^{''} = 0$ 时，称为自然边界条件。
如果 $f(x)$ 是以 $b-a$ 为周期的周期函数，则 $S(x)$ 也应该是具有同样周期的周期函数，在端点处需要满足 $S^{'}(a+0)=S^{'}(b-0)$ ， $S^{''}(a+0)=S^{''}(b-0)$