薄板样条插值---TPS(Thin Plate Spline)

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薄板样条插值—TPS(Thin Plate Spline)

插值

已知一系列的观测点 $\bold {(x_1, y_1), (x_2,y_2), \cdots, (x_n, y_n)}$, 这一组观测值得生成函数 $Y=f(X)$未知，如何通过这一组观测值拟合出一个近似于真实生成函数的表达式。拟合出来的表达式称之为插值函数。

TPS

薄板样条的插值函数形式如下：
$\begin{aligned} \Phi(\bold x) &= \bold {c + a^Tx + w^Ts(x)} \\ \bold {s(x)} &= \bold{(\sigma(x - x_1), \sigma(x - x_2), \cdots, \sigma(x - x_n))^T } \\ \sigma(\bold x) & = \bold {||x||_x^2\log||x||_x^2}\\ \end{aligned}$

其中, $\bf c \in \mathbb R^{1\times 1} ,\bf a \in \mathbb R^{D \times 1}, w \in \mathbb R^{N\times 1}$。 从中可以看出，该函数的输出值是一个标量，也就是说，如果要针对多个维度进行插值，需要求解多个插值函数。该插值函数总共存在 $N+D+1$个参数。 而每个观测点都能提供一个如下的约束，共 $N$个约束条件。
$y_k = \Phi(x_k)$
在认为添加 $D+1$个约束条件：
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{K}w_k &= 0 \\ \sum_{k=1}^{K}w_k {\bf x}_k^{1} &= 0 \\ \vdots \\ \sum_{k=1}^{K}w_k {\bf x}_k^{D} &= 0 \\ \end{aligned}$

令：
$\begin{aligned} X& = \begin{bmatrix} \bf{x}_1^1 & \bf{x}_1^2 &\cdots & \bf{x}_1^D\\ \bf{x}_2^1 & \bf{x}_2^2 &\cdots & \bf{x}_2^D\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \bf{x}_N^1 & \bf{x}_N^2 &\cdots & \bf{x}_N^D\\ \end{bmatrix} \qquad Y = \begin{bmatrix} \bf{y}_1\\ \bf{y}_2 \\ \vdots \\ \bf{y}_N\\ \end{bmatrix}\\ S &= \begin{bmatrix} \bf{\sigma(x_1 - x_1)} & \bf{\sigma(x_1 - x_2)}&\cdots & \bf{\sigma(x_1 - x_N)}\\ \bf{\sigma(x_2 - x_1)} & \bf{\sigma(x_2 - x_2)}&\cdots & \bf{\sigma(x_2 - x_N)}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \bf{\sigma(x_N - x_1)} & \bf{\sigma(x_N - x_2)}&\cdots & \bf{\sigma(x_N - x_N)}\\ \end{bmatrix} \end{aligned}$

则约束条件构成的方程组可以改写为：
$\begin{bmatrix} S & 1_N & X \\ 1_N^T&0 &0 \\ X^T& 0 &0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bf w \\ \bf c \\ \bf a \end{bmatrix} = \Gamma \begin{bmatrix} \bf w \\ \bf c \\ \bf a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bf Y \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$
当 $\Gamma$非奇异时，这个方程组有唯一解。因此可获得参数矩阵：
$\begin{bmatrix} \bf w \\ \bf c \\ \bf a \end{bmatrix} = \Gamma^{-1} \begin{bmatrix} \bf Y \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$

Reference
[1] 数值方法——薄板样条插值（Thin-Plate Spline）
[2] Thin plate splines 薄板样条插值个人理解
[3] 关于Thin Plate Spline （薄板样条函数）