洛谷4056 [JSOI2009]火星藏宝图（斜率优化+dp）

qwq又要吐槽一句我菜的真实。

由于网上很多 $O(nm)$做法，这里就不做赘述了。

我这里只写一下 $O(m^2)$的做法。

首先我们定义一个 $dp[i][j]$表示到 $(i,j)$这个坐标的岛的最大收益。

然后我们考虑转移，首先对于同一列来说，只有截止到 $i$行之前的行数最大的那个点才有可能作为转移点。

这样一个图，如果我们从上面的点转移的代价是 $-(a+b)^2-c^2+val_2$

如果从下面那个点呢，则是 $-a^2-b^2-c^2+val_2+val_1$

显然从下面的点转移，代价更小，而且还能获得两个点的收益。

那么我们不妨定义 $pos[i]$表示 $i$这一列最底下的行是多少。

那么 $dp[i][p]=max(f[i][j]-(j-p)^2-(i-pos[j])^2+w[i][p]))$
经过一番推柿子，我们设 $g[j]=f[i][j]-(i-pos[j])^2-j^2$
则
$\frac{g(j)-g(k)}{j-k} > -2p$

直接斜率优化
然后枚举行，枚举列，分别进行转移就行

有一个小细节就是对于一个位置 $(i,j)$，如果他有岛，那么 $dp[pos[j]][j]和dp[i][j]$都要加入队列
qwq

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mk make_pair
#define ll long long
#define int long long
using namespace std;
inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}
const int maxn = 2010;
struct Point{
	int x,y,hang,line;
};
int dp[maxn][maxn];
int pos[maxn]; // pos[i]表示i这一列最靠下的点的行数是多少.
int val[maxn][maxn];
int n,m;
Point q[maxn*10];
int chacheng(Point x,Point y)
{
	return x.x*y.y-x.y*y.x;
	
}
bool count(Point i,Point j,Point k)
{
	Point x,y;
	x.x=k.x-i.x;
	x.y=k.y-i.y;
	y.x=k.x-j.x;
	y.y=k.y-j.y;
	if (chacheng(x,y)>=0) return true;
	return false;
}
int head=1,tail=0;
void push(Point x)
{
	while (tail>=head+1 && count(q[tail-1],q[tail],x))	tail--;
	q[++tail]=x;
}
void pop(int lim)
{
	while (tail>=head+1 && q[head+1].y-q[head].y>lim*(q[head+1].x-q[head].x)) head++;
}
signed main()
{
  n=read(),m=read();
  for (int i=1;i<=n;i++)
  {
  	 int x=read(),y=read();
  	 val[x][y]=read();
  }
  dp[1][1]=val[1][1];
  pos[1]=1;
  push((Point){1,dp[1][1]-1,1,1});
  for (int i=1;i<=m;i++)
  {
  	 head=1,tail=0;
  	 for (int j=1;j<=m;j++)
  	 {
  	   if (i==1 &&j==1) continue;
  	   if (pos[j])
  	   	 push((Point){j,dp[pos[j]][j]-(pos[j]-i)*(pos[j]-i)-j*j,pos[j],j});
  	   if (val[i][j])
  	   {
  	   	  pop((-2)*j);
  	   	  Point now = q[head];
  	   	  dp[i][j]=dp[now.hang][now.line]-(now.line-j)*(now.line-j)-(now.hang-i)*(now.hang-i)+val[i][j];
  	   	  pos[j]=i;
		  push((Point){j,dp[pos[j]][j]-(pos[j]-i)*(pos[j]-i)-j*j,pos[j],j});
		 }
	 }
  }
  cout<<dp[m][m]<<endl; 
  return 0;
}