洛谷CF311B Cats Transport（DP）（斜率优化）

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载，除非先点了赞。 https://blog.csdn.net/A_Bright_CH/article/details/82835719

题目

洛谷CF311B Cats Transport

题解

斜率优化
设的距离为，即。
先转换一下模型。对于第i只猫，饲养员要在t[i]-D[i]之后出发，才能把它带回家。
故我们设数组，问题就转换成了在A数组中分成p组，每组(l,r)的代价是。
为了方便操作，对A进行递增排序。同时，记录其前缀和S。

在此基础上，设f[i][j]表示出动j个饲养员带走前i只猫的最小等待时间。
转移方程：

在上述方程中，把i看成定量，j看成状态变量，k看成决策变量。把仅与k有关的放在等号左边，仅与j有关的和与j和k都有关的放在等号右边。去掉min函数，并移项，得：

对于上面这个式子，可以理解成在一个以为横坐标，为纵坐标的坐标系上，有一条斜率为的直线，截距为。决策点坐标为。
我们可以让横坐标k递增枚举，同时又有斜率递增，可以直接用最模板的斜率优化解决。
因为要最小化f[i][j]，所以截距要最小化，维护一个下凸壳。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll inf=4557430888798830399;
const int maxn=2e5+10,maxm=1e5+10,maxp=110;

int n,m,p;
ll d[maxn],s[maxn];
ll a[maxm];

ll f[maxp][maxm],g[maxm];

int q[maxm];int l,r;

int main()
{
    cin>>n>>m>>p;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        cin>>d[i];
        d[i]+=d[i-1];
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int h,t;
        cin>>h>>t;
        a[i]=t-d[h];
    }
    sort(a+1,a+m+1);
    for(int i=1;i<=m;i++) s[i]=s[i-1]+a[i];
    
    memset(f,63,sizeof(f));f[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=p;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++) g[j]=f[i-1][j]+s[j];//g表示纵坐标
        l=r=1;q[1]=0;
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            while(l<r && g[q[l+1]]-g[q[l]] <= (q[l+1]-q[l]) * a[j]) l++;
            f[i][j]=min(f[i-1][j],g[q[l]]+a[j]*(j-q[l])-s[j]);//不用加再+s[k]，因为已经包含在g中了
            if(g[j]>=inf) continue;
            while(l<r && (g[q[r]]-g[q[r-1]]) * (j-q[r]) >= (g[j]-g[q[r]]) * (q[r]-q[r-1])) r--;
            q[++r]=j;
        }
    }
    printf("%lld\n",f[p][m]);
    return 0;
}