洛谷P3195 [HNOI2008] 玩具装箱 [DP，斜率优化，单调队列优化]

题目描述

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

输入输出格式

输入格式：

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

输出格式：

输出最小费用

输入输出样例

输入样例#1：复制

输出样例#1：复制

　　分析：今天Frozen_Heart上课讲了斜率优化，就做了一下他推荐的这题。当然，DP本来就蒻的我真的一点思路都没有，不过听完课，大致理解了斜率优化的基本思路，然后在网上看了一个大佬的博客，才弄懂了这题。我觉得我肯定是将不好的，还是看看这位大佬的博客吧[link]，这里就只附上蒟蒻按照大佬思路打的代码。

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　　Code：

 1 //It is made by HolseLee on 22nd May 2018
 2 //Luogu.org P3195
 3 #include<bits/stdc++.h>
 4 #define Fi(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
 5 #define empty (head>=tail)
 6 using namespace std;
 7 const int N=5e4+7;typedef long long ll;
 8 ll n,L,s[N],q[N],f[N],head,tail;
 9 inline double X(ll i){return s[i];}
10 inline double Y(ll i){return f[i]+(s[i]+L-1)*(s[i]+L-1);}
11 inline double Slope(ll i,ll j){return ((Y(j)-Y(i))/(X(j)-X(i)));}
12 int main()
13 {
14   ios::sync_with_stdio(false);
15   cin>>n>>L;L++;head=tail=1;
16   Fi(i,1,n){cin>>s[i];s[i]+=s[i-1];}Fi(i,1,n)s[i]+=i;
17   Fi(i,1,n){
18     while(!empty&&Slope(q[head],q[head+1])<2*s[i])head++;
19     ll j=q[head];f[i]=f[j]+(s[i]-s[j]-L)*(s[i]-s[j]-L);
20     while(!empty&&Slope(q[tail-1],q[tail])>Slope(q[tail],i))tail--;
21     q[++tail]=i;}
22   cout<<f[n]<<"\n";return 0;
23 }