清华大学肖勇波梁湧老师的宏篇译著中的问题实践之003 - 选址问题

清华大学肖勇波梁湧老师翻译的Rardin教授的《运筹学》[1]已于今年年中出版，感谢机械工业出版社张有利老师的推荐和赠书，让我能看到如此完美的千页级宏篇译著。该书的翻译质量非常高，书中内容深入浅出，附有大量的应用案例（Application）和练习题库。尤其让人欣喜的是该著作能与计算实践密切结合，凡有计算机图案标记的练习都是与计算和软件应用相关的，彰显了运筹学的应用数学本质。有鉴于此，笔者计划对该书中的问题进行大量实践，争取达到双位数的规模。

选址问题

此问题是该书中的一个练习，见原书第二章，练习2-39。此问题是第二章练习中比较复杂的一个。

问题简述：有五个地点（区域，Region）需要派员工作，拟在五个地点中选择若干个地点建立办公室，从办公室到工作地点的旅行根据远近不同有不同的耗费，在各地建立办公室的一次性花费也不同。已知各地的派员需求量，规划在何处建址以及各办公室到不同地点的派员数量，以使得总花费最小。数据如下：

+Leapms生成的模型摘录

对任何问题，+Leapms都建议直接用+Leapms建模语言直接写出模型，并进行模型调试。

我们的经验是，模型调试能够发现模型的不足、促进建模的完美性，甚至可以促进对问题的更加深入的了解。

当模型调试完毕，对模型的正确性有充分的信心后，+Leapms系统可生成模型摘录，包括数学概念模型（即使用标引符号表示的数学模型）和+Leapms源码供思路交流使用。

使用x[i][j]表示从区域 i向区域j派员的数量，显然如果x[i][j]>0则在区域i必须建立办公室。使用0-1变量y[i]表示是否在区域i建立办公室。

以下是问题的+Leapms模型摘录（pdf屏幕截图）：

+Leapms模型求解结果

+Leapms>load
 Current directory is "ROOT".
 .........
        02-01.leap
        02-02.leap
        02-03.leap
        02-39.leap
 .........
please input the filename:02-39
================================================================
1:  //2-39 To improve tax compliance the Texas
2:  //Comptroller’s staff regularly audits at corporate
3:  //home offices the records of out-of-state corporations
4:  //doing business in Texas. Texas is considering
5:  //the opening of a series of small offices near
6:  //these corporate locations to reduce the travel
7:  //costs now associated with such out-of-state audits.
8:  //The following table shows the fixed cost (in
9:  //thousands of dollars) of operating such offices at
10:  //5 sites i, the number of audits required in each
11:  //of 5 states j, and the travel cost (in thousands of
12:  //dollars) per audit performed in each state from a
13:  //base at any of the proposed office sites.
14:  //=======================================================
15:  //TaxSite|FixedCost|Costa
16:  //=======================================================
17:  //           1   2   3   4   5
18:  //     1 160 0   0.4 0.8 0.4 0.8
19:  //     2  49 0.7 0   0.8 0.4 0.4
20:  //     3 246 0.6 0.4 0 0.5 0.4
21:  //     4  86 0.6 0.4 0.9 0 0.4
22:  //     5 100 0.9 0.4 0.7 0.4 0
23:  //Audits     200 100 300 100 200
24:  //=======================================================
25:  //We seek a minimum total cost auditing plan.
26:
27:  min sum{i=1,..m;j=1,..,n}c[i][j]a[j]x[i][j] + -->
28:     sum{i=1,..m}f[i]y[i]
29:  subject to
30:     sum{i=1,..,m}x[i][j]= 1 | j=1,..,n
31:     sum{j=1,..,n}x[i][j] <= M*y[i] |i=1,..,m
32:  where
33:     m,n are integers
34:     M is a number
35:     f[i] is a number|i=1,..,m
36:     a[j] is a number|j=1,..,n
37:     c[i][j] is a number|i=1,..,m;j=1,..,m
38:     y[j] is a variable of binary|j=1,...,n
39:     x[i][j] is a variable of nonnegative number -->
40:             |i=1,..,m;j=1,..,n
41:  data_relation
42:     M=sum{j=1,..,n}a[j]
43:  data
44:     m=5
45:     n=5
46:     f={160 49 246 86 100}
47:     c={
48:         0 0.4 0.8 0.4 0.8
49:       0.7   0 0.8 0.4 0.4
50:       0.6 0.4   0 0.5 0.4
51:       0.6 0.4 0.9 0   0.4
52:       0.9 0.4 0.7 0.4   0
53:     }
54:     a={200 100 300 100 200}
================================================================
>>end of the file.
Parsing model:
1D
2R
3V
4O
5C
6S
7End.
..................................
number of variables=30
number of constraints=10
..................................
+Leapms>mip
relexed_solution=0.712222; number_of_nodes_branched=0; memindex=(2,2)
The Problem is solved to optimal as an MIP.
找到整数规划的最优解.非零变量值和最优目标值如下：
  .........
    x2_2* =1
    x2_4* =1
    x3_1* =1
    x3_3* =1
    x3_5* =1
    y2* =1
    y3* =1
  .........
    Objective*=535
  .........
+Leapms>

讨论

以上求解的变量结果与原著中给出的变量结果不一致，其原因是问题存在多解。

参考文献

[1] Rardin R. L 著，肖勇波、梁湧译. 运筹学. 北京:机械工业出版社,2018