DP优化学习笔记

暑假的时候本来想把这些东西系统学一遍，但是想着NOIP不考就没有学，现在也该补坑了…

1.单调队列优化

待更

2.斜率优化

先从一个例题看起，HDU3507意思是你有一串数，你需要把他们分成很多段连续的子段，每一段的花费是子段内所有数的和的平方，求最小花费。

我们可以很容易列出一个状态转移方程，设 $dp_i$ 为已经给 $[1,i]$ 这个区间分好段的答案，那么 $dp_i=\min_{j = 1}^{i-1}dp_j+(\sum_{k=j+1}^iC_k)^2$ ，这个转移是 $O(n^2)$ 的，不足以通过这题 $5\times10^5$ 的数据，我们需要优化它。

设 $k < j < i$ ， $S_i=\sum_{j=1}^iC_j$ ，我们来寻找什么时候从 $j$ 转移到 $i$ 比从 $k$ 转移到 $i$ 更加优秀，我们可以列出一个不等式：
$dp_j+(S_i-S_j)^2\le dp_k + (S_i-S_k)^2 \\ dp_j+S_i^2+S_j^2-2S_iS_j\le dp_k+S_i^2+S_k^2-2S_iS_k\\ dp_j-dp_k+S_j^2-S_k^2\le 2S_i(S_j-S_k)\\ \frac{dp_j-dp_k+S_j^2-S_k^2}{S_j-S_k}\le2S_i$

设 $f_x=dp_x+S_x^2$ ，那么：
$\frac{f_j-f_k}{S_j-S_k}\le2S_i$

我们可以知道当 $\frac{f_j-f_k}{S_j-S_k}\le2S_i$ 时，决策点 $k$ 比 $i$ 更加优秀，又因为这个式子跟直线的斜率式相同，我们考虑通过维护一个斜率单调的决策点集合来实现 $O(1)$ 转移，那么我们现在来证明决策点是由一些斜率单调的直线上的点组成的。设 $g(k,j)=\frac{f_j-f_k}{S_j-S_k}$ ，对于三个决策点 $k<j<p$ ，我们来证明一定不存在 $g(k,j)\ge g(j,p)$ 的情况，也就是这些直线的斜率是单调下降的。当 $g(k,j)> g(j,p)> 2S_i$ 时，决策点 $j$ 比 $p$ 优秀， $k$ 比 $j$ 优秀，所以 $j$ 无论如何都不会转移到其他状态，当 $g(k,j)>2S_i>g(j,p)$ 时 $p,k$ 都比 $j$ 优秀，所以 $j$ 还是不能转移到其他状态，当 $2S_i>g(k,j)>g(j,p)$ 时， $j$ 比 $k$ 优秀， $p$ 比 $j$ 优秀， $j$ 还是没有任何作用，那么我们在斜率递减时就把没用的决策点删除，最后维护的就是一个凸壳，转移的时候把这些决策点用一个单调队列保存下来，就可以做到 $O(n)$ 了。

Hint：用单调队列优化时必须满足横坐标单调递增，否则就需要动态维护这个凸壳了。

UPD：上面那种方法是从代数角度理解，体现不了斜率优化的精髓，所以再写一种几何相关的方法。

还是这个式子 $dp_i = dp_j+(S_i-S_j)^2$ ，化简之后可以得到 $dp_i + 2S_iS_j=S_i^2+S_j^2$ ，这个我们把它看成一次函数的形式，令 $y=S_i^2+S_j^2,x=S_j,k=2S_i,b=dp_i$ ，那么所有的决策点我们可以把它放到一个二维平面上去，转移的时候就是给了你一个斜率，要你让这条直线穿过一个决策点满足截距最小。
在这里插入图片描述
如图所示，那条直线就是当前考虑的点，中间的一堆点就是决策点，我们不断向左平移这条直线，碰到的第一个点就是最优的决策点。我们发现只有凸壳上的点才会转移到当前点，那么我们简化一下状态，就变成了这样。

在这里插入图片描述

那么我们只要维护这个下凸壳就好了，由于加入的直线斜率是递增的，那么每个凸壳最前面的一段直线可能会变得不符合条件，然后就可以了。

Codes

#include <bits/stdc++.h>

#define x first
#define y second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define inf (0x3f3f3f3f)

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;

template<class T>inline T read(T &_) {
    T __ = getchar(), ___ = 1; _ = 0;
    for (; !isdigit(__); __ = getchar()) if (__ == '-') ___ = -1;
    for (; isdigit(__); __ = getchar()) _ = (_ << 3) + (_ << 1) + (__ ^ 48);
    return _ *= ___;
}

template<class T>inline bool chkmax(T &_, T __) { return _ < __ ? _ = __, 1 : 0; }
template<class T>inline bool chkmin(T &_, T __) { return _ > __ ? _ = __, 1 : 0; }

inline void proStatus() {
    ifstream t("/proc/self/status");
    cerr << string(istreambuf_iterator<char>(t), istreambuf_iterator<char>());
}

const int N = 5e5 + 10;

ll dp[N], S[N], n, m;

inline ll pf(ll x) { return x * x; } 
inline ll f(int x) { return dp[x] + pf(S[x]); }
inline ll dy(int x, int y) { return f(y) - f(x); }
inline ll dx(int x, int y) { return S[y] - S[x]; } 

int main() {
#ifdef ylsakioi
    freopen("3507.in", "r", stdin);
    freopen("3507.out", "w", stdout);
#endif

    while (~scanf("%lld%lld", &n, &m)) {
        static int q[N], l, r;
        for (int i = 1; i <= n; ++ i) 
            read(S[i]), S[i] += S[i - 1];
        q[l = r = 1] = 0; 
        for (int i = 1; i <= n; q[++ r] = i ++) {
            while (l < r && dy(q[l], q[l + 1]) < dx(q[l], q[l + 1]) * (S[i] << 1)) ++ l; 
            dp[i] = dp[q[l]] + pf(S[i] - S[q[l]]) + m; 
            while (l < r && dy(q[r], i) * dx(q[r - 1], q[r]) <= dy(q[r - 1], q[r]) * dx(q[r], i)) -- r; 
        }
        printf("%lld\n", dp[n]);
    }

    return 0;
}

1.单调队列优化

2.斜率优化

Codes

3.决策单调性优化

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