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0. 绪论
首先明确凸优化这门课的主要目的:
- 判断一个问题是否为凸的
- 将一个问题转化为凸的
- 求解凸优化问题,给出算法性能
1. 优化问题与凸优化
1.1 一般优化问题
一般优化问题的形式为
其中
为优化目标,
为约束函数。
一般的优化问题都很难求解,可能无法给出一个解析解,甚至数值解法也不能给出最优解。而在众多复杂的优化问题中,有一些问题则较为容易:
- 最小二乘问题(least-squares problems):有解析解
- 线性规划问题(linear programming problems )
- 凸优化问题(convex optimization problems):通常没有解析解,但是有有效的数值解法
1.2 凸优化问题
如果目标函数和约束函数都是凸函数,则被称为凸优化问题。满足以下条件的函数称为凸函数
凸优化中经常遇到的困难为:
- 难以判断一个问题是否为凸的
- 将一个问题转化为凸问题需要很多的技巧(tricks)