数列的前n项和的求法
★ 数列求和第一步： 欲求和，先认清数列的通项公式，以\(a_n\)为“抓手”。
★ 数列求和第二步：认清结构，合理选择恰当的方法
法1、公式求和法；等差、等比类型
法2、分组求和法
法3、并项求和法
法4、裂项求和法(难点)
法5、错位相减法(难点)
法6、倒序相加法(函数性质的应用)
\(\fbox{例1}\)
求数列的前\(n\)项和\(S_n=1+\cfrac{1}{1+2}+\cfrac{1}{1+2+3}+\cdots+\cfrac{1}{1+2+3+\cdots+n}\)，
分析：必须先能认出其通项公式\(a_n=\cfrac{1}{1+2+3+\cdots+n}\)，
从而\(a_n=\cfrac{1}{\cfrac{n(n+1)}{2}}=\cfrac{2}{n(n+1)}=2(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1})\)，故有
\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)
\(=2[(1-\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3})+\cdots+(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1})]\)
\(=2(1-\cfrac{1}{n+1})=\cfrac{2n}{n+1}\)。
\(\fbox{例2}\)
求\(S_n=1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n\)；
分析：必须先能认出其通项公式\(a_n=\cfrac{2n}{2^n}\)，从而应该和错位相减法建立关联，求解见下例5
\(\fbox{例3}\)
求数列的前\(n\)项和\(S_n=1\cfrac{1}{2}+3\cfrac{1}{4}+5\cfrac{1}{8}+7\cfrac{1}{16}+\cdots+[(2n-1)+\cfrac{1}{2^n}]\)
分析：必须先能认出其通项公式\(a_n=(2n-1)+\cfrac{1}{2^n}\)，从而应该和分组求和法建立关联。
\(S_n=[1+3+5+\cdots+(2n-1)]+[\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{8}+\cdots+\cfrac{1}{2^n}]\)
\(=\cfrac{1+(2n-1)}{2}\cdot n+\cfrac{\cfrac{1}{2}(1-(\cfrac{1}{2})^n)}{1-\cfrac{1}{2}}\)
\(=n^2+1-\cfrac{1}{2^n}\)。
\(\fbox{例4}\)
已知\(S_n=1-2+3-4+5-6+\cdots+(-1)^{n-1}\cdot n\)，
分析：若数列中包含因子\((-1)^n、(-1)^{n-1}\)，一般和并项求和法建立关联，
如\(S_n=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+(-1)^{n-1}\cdot n\)，外加针对\(n\)的奇偶讨论。
解析：
当\(n\)为偶数时，\(S_n=1-2+3-4+5-6+\cdots+(-1)^{n-1}\cdot n\)
\(=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+[(n-1)-n]\)，
\(=(-1)\times \cfrac{n}{2}\)；
当\(n\)为奇数时，\(S_n=1-2+3-4+5-6+\cdots+(-1)^{n-1}\cdot n\)
\(=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+[(n-2)-(n-1)]+n\)，
\(=(-1)\times \cfrac{n-1}{2}+n=\cfrac{n+1}{2}\)；
\(\fbox{例2}\)(错位相减法的具体求解过程)
求\(S_n=1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n\)；
分析:首先认清求和的数列的通项公式\(a_n=n\cdot2^n\)，是个差比数列，其中等比数列的公比为\(2\)，
下来按部就班的使用“错位相减法”求和就成了。解如下：
\(S_n=1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n\) (1)
\(2S_n=1\cdot2^2+2\cdot2^3+\cdots+(n-1)\cdot2^n+n\cdot 2^{n+1}\) (2)
具体的错位方法如下图说明：
| $S_n=$ | $1\cdot 2+$ | $2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+n\cdot 2^n$ | |
|---|---|---|---|
| $2S_n=$ | $1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+\cdots+(n-1)\cdot 2^n$ | $+n\cdot2^{n+1}$ | |
| 第一部分，有1项 | 第二部分，有1项 | 第三部分，有$n-1$项 | 第四部分，有1项 |
(1)-(2)得到：
\(-S_n=1\cdot2+1\cdot2^2+1\cdot2^3+\cdots+1\cdot2^n-n\cdot2^{n+1}\) \(\hspace{4cm}\) (3)
再次整理为
\(-S_n=\cfrac{2\cdot(1-2^n)}{1-2}-n\cdot2^{n+1}\) \(\hspace{4cm}\) (4)
最后整理为
\(S_n=(n-1)\cdot2^{n+1}+2\)
\(\fbox{例3}\)(倒序相加法)(函数性质的应用)
已知函数\(f(x)=\cfrac{x^2}{1+x^2}\)，求\(f(4)+f(3)+f(2)+f(1)+f(0)+f(\cfrac{1}{2})+f(\cfrac{1}{3})+f(\cfrac{1}{4})\)，
你应该能联想到\(f(x)+f(\cfrac{1}{x})=m\)(m为某一个确定的值，可以自己计算得到)，从而联想到倒序相加求和法。
分析：\(f(x)+f(\cfrac{1}{x})=\cfrac{x^2}{1+x^2}+\cfrac{(\frac{1}{x})^2}{1+(\frac{1}{x})^2}=1\)，
故原式\(=[f(4)+f(\cfrac{1}{4})]+[f(3)+f(\cfrac{1}{3})]+[f(2)+f(\cfrac{1}{2})]+f(1)+f(0)=\cfrac{7}{2}\)。
\(\fbox{例4}\)(倒序相加法)(函数性质的应用)
定义在R上的函数满足\(f(\cfrac{1}{2}+x)+f(\cfrac{1}{2}-x)=2\)【或者已知函数\(f(x)=\sqrt[3]{x-\frac{1}{2}}+1\)】，
求值\(f(\cfrac{1}{8})+f(\cfrac{2}{8})+f(\cfrac{3}{8})+\cdots+f(\cfrac{7}{8})\)=7．
\(\fbox{例5}\)(倒序相加法)(函数性质的应用)
求值：\(sin^21^{\circ}+sin^22^{\circ}+sin^23^{\circ}+\cdots+sin^288^{\circ}+sin^289^{\circ}=\)
分析：\(sin^21^{\circ}+sin^289^{\circ}=1\)，\(sin^22^{\circ}+sin^288^{\circ}=1\)，\(\cdots\)，\(sin^244^{\circ}+sin^246^{\circ}=1\)，\(sin^245^{\circ}=\cfrac{1}{2}\)，
故原式=\(44+\cfrac{1}{2}=44.5\)。