斐波那契数列的前N项和

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我们知道斐波那契数列为

$$\left\{\begin{matrix} F_1=1\\ F_2=1\\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2} &&n>2 \end{matrix}\right.$$
那么如何求解他的前N项和呢
我们可以通过他的通项入手，斐波那契数列的通项为
$$F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left (\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^n- \left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^n \right )$$
数列的递推公式求通项可以参考 数列的递推公式求通项
有了通项后我们易知
$$S_{n}=\sum _{i=1}^nF_{i}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left (\left ( \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^1+\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^2+\cdots +\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^n \right )- \left ( \left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^1+\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^2+\cdots \left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^n \right )\right )$$
由于这里就是两个等比数列所以可以用上等比数列求和公式
$$S_{n}=\sum _{i=1}^nF_{i}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left (\left ( \frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}\left ( 1-\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right )^n \right )}{1- \frac{1+\sqrt{5}}{2}} \right )- \left ( \frac{\frac{1-\sqrt{5}}{2}\left ( 1-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right )^n \right )}{1- \frac{1-\sqrt{5}}{2}} \right )\right )$$
$$=\frac{1}{\sqrt{5}}\left (\left ( \frac{\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^2\left ( 1-\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right )^n \right )}{\frac{1-\sqrt{5}}{2}\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \right )- \left ( \frac{\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^2\left ( 1-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right )^n \right )}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}\frac{1-\sqrt{5}}{2}} \right )\right )$$
$$=\frac{1}{\sqrt{5}}\left (\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{n+2}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{n+2}\right )-\frac{1}{\sqrt{5}}\left (\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{2}\right )$$
$$=F_{n+2}-F_2=F_{n+2}-1$$
所以也就是说
$$S_n=F_{n+2}-1$$
实际上大多数的数列递推公式的通项是由含有等比因子的，都可以尝试这样的方法来求解和