2.3 等差数列的前n项和

一般地，我们称
\(a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n\)
为数列\(\{a_n\}\)的前n项和，用\(S_n\)表示，即
\(S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n.\)
由高斯算法的启示，对于公差为\(d\)的等差数列，我们用两种方式表示\(S_n\)：
\(S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\ldots+[a_1+(n-1)d]\), ①
\(S_n=a_n+(a_n-d)+(a_n-2d)+\ldots+[a_n-(n-1)d]\). ②
由①+②，得
\(2S_n=(a_1+\underbrace{a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+\ldots+(a_1}_{n个}+a_n)=n(a_1+a_n)\)
由此得到等差数列\(a_n\)的前\(n\)项和的公式
\(S_n= \frac{n(a_1+a_n)}{2}\)