[bzoj3142][数论]数列

Description

小T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过M，M为正整数。并且这些参数满足M(K-1)<N。
小T忘记了这K天每天的具体股价了，他现在想知道这K天的股价有多少种可能

Input

只有一行用空格隔开的四个数：N、K、M、P。对P的说明参见后面“输出格式”中对P的解释。
输入保证20%的数据M,N,K,P≤20000，保证100%的数据M,K,P≤109，N≤1018 。

Output

仅包含一个数，表示这K天的股价的可能种数对于P的模值。【输入输出样例】

Sample Input

7 3 2 997

Sample Output

16

HINT

【样例解释】

输出样例的16表示输入样例的股价有16种可能：

{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，3，5}， {2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{2，4，6}，
{3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，5，7}，{4，5，6}，{4，5，7}，{4，6，7}，{5，6，7}

题解

妙.
我们考虑一个增长数组 $s$ ，显然这个数组的贡献是 $n-\sum s[i]$
这个数组 $s$ 一共有 $m^{k-1}$ 个
于是就是要求
$\sum_{number}^{m^{k-1}} n-\sum s[number][i]$
拆开就可以知道前面是 $n*m^{k-1}$
发现这个增长数组 $s$ 实际上就是允许重复的排列
那么每个数的出现次数都是一样的
后面一共有 $m^{k-1}*(k-1)$ 个数，每个数出现的次数即为 $m^{k-2}*(k-1)$
可知这些数的平均数为 $\frac{m*(m+1)}{2}$
于是要减掉的就是
$\frac{m*(m+1)}{2}*m^{k-2}*(k-1)$
这个柿子…一定要列出来啊
没了…

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>
#include<map>
#include<bitset>
#define LL long long
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define pll pair<long long,long long>
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
inline LL read()
{
	LL f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
int stack[20];
inline void write(int x)
{
	if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(!x){putchar('0');return;}
    int top=0;
    while(x)stack[++top]=x%10,x/=10;
    while(top)putchar(stack[top--]+'0');
}
inline void pr1(int x){write(x);putchar(' ');}
inline void pr2(int x){write(x);putchar('\n');}
LL n,k,m,p;
LL pow_mod(LL a,LL b)
{
	LL ret=1;
	for(;b;a=a*a%p,b>>=1)ret=ret*(b&1?a:1)%p;
	return ret;
}
int main()
{
	n=read();k=read();m=read();p=read();
	LL a1=n%p*pow_mod(m,k-1)%p;
	LL a2=m*(m+1)/2%p*pow_mod(m,k-2)%p*(k-1)%p;
	a1=(a1-a2+p)%p;
	pr2(a1);
	return 0;
}

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