[bzoj4176] Lucas的数论

Description

去年的Lucas非常喜欢数论题，但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了。

在整理以前的试题时，发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”，其中表示i的约数个数。他现在长大了，题目也变难了。

求如下表达式的值：
\[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nf(ij) \]
其中表示ij的约数个数。

他发现答案有点大，只需要输出模1000000007的值。

Input

第一行一个整数n。

Output

一行一个整数ans，表示答案模1000000007的值。

Sample Input

Sample Output

HINT

对于100%的数据n <= 10^9。

solution

这题要求的东西其实和[bzoj3994] [SDOI2015]约数个数和是一样的，只是数据范围不同．

由于这题\(n\)到了\(1e9\)，考虑使用杜教筛．

对于\(f(n)=\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)，可以数论分块大力算一下．

然后考虑\(\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\)怎么算．

先把杜教筛的套路式搬出来：
\[ S(n)=\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum_{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor) \]
其中，设\(f(n)=\mu(n)\)，\(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)．

然后我们知道这样一个式子：
\[ \sum_{d|n}\mu(d)=\epsilon(n) \]
其中\(\epsilon(n)=[n=1]\)，表示狄利克雷卷积的元函数．

所以我们令\(g(n)=１\)，即常函数，然后卷起来：
\[ (f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)=\epsilon(n) \]
所以\(\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)=1\)，即：
\[ S(n)=1-\sum_{i=2}^{n}S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor) \]
然后递归求解，线筛出前\(1e7\)个，记忆化一下就做完了．

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) x=-x,putchar('-');
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

const int maxn = 1e7+1;
const int mod = 1e9+7;

int pri[maxn],vis[maxn],mu[maxn],n,tot;

void sieve() {
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++) {
        if(!vis[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int t,j=1;j<=tot&&i*pri[j]<maxn;j++) {
            vis[t=i*pri[j]]=1;
            if(!(i%pri[j])) {mu[t]=0;break;}
            mu[t]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<maxn;i++) mu[i]=(mu[i-1]+mu[i])%mod;
}

map<int,int > Sum_mu;

int sum_mu(int n) {
    if(n<maxn) return mu[n];
    if(Sum_mu[n]) return Sum_mu[n];
    int T=2,res=1;
    while(T<=n) {
        int pre=T;T=n/(n/T);
        res=(res-(T-pre+1)*sum_mu(n/T))%mod;T++;
    }
    return Sum_mu[n]=(res%mod+mod)%mod;
}

int calc(int n) {
    int T=1,res=0;
    while(T<=n) {
        int pre=T;T=n/(n/T);
        res=(res+(T-pre+1)*(n/T))%mod;T++;
    }
    return res;
}

signed main() {
    sieve();
    int n;read(n);
    int T=1,ans=0;
    while(T<=n) {
        int pre=T;T=n/(n/T);int r=calc(n/T);
        ans=(ans+(sum_mu(T)-sum_mu(pre-1))*r%mod*r%mod)%mod;T++;
    }
    write((ans%mod+mod)%mod);
    return 0;
}