BZOJ-3209 (数论)

题目

3209: 花神的数论题
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Problem Dexcription

设 sum(i) 表示 i 的二进制表示中 1 的个数。给出一个正整数 N ，花神要问你
派(Sum(i)),也就是 sum(1)—sum(N) 的乘积。

Input

一个正整数 N。
N≤10^15

Output

一个数，答案模 10000007 的值。

Samples

Input	Output
571	2560979
3	2
4	2
8	24
9	48
1000000000000000	1030503

分析

• 
  
• 可以把 n 看成二进制，分段来讨论。
• 举个例子模拟一遍即可意会：
  

n=100100(二进制下)
000001~011111 贡献为 1C152C25∗3C35∗4C45∗5C15 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">1^{C_5^1}2^{C_5^2}*3^{C_5^3}*4^{C_5^4}*5^{C_5^1}</script>
100000 贡献为 1
100001~100011 贡献为 1C12∗2C22 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-2">1^{C_2^1}*2^{C_2^2}</script>
100100 贡献为 2
*有那么一点数位 dp 用到的思想，对于 ([1~2^n) 这个区间里所有数对答案的贡献我们可以用上面的组合数方法求出来（分类 一个1，两个1，三个1…），然后就可以把原来的 n 分成许多个这样连续的“满二次幂”区间（临时造词），注意一下底数要加上前面已经固定好的 1 的数量（我的程序中体现为 cnt）。
* 可以再看看程序理解吧。

程序

#include <cstdio>
#define Ha 10000007
long long i,j,n,p,q,cnt,ret,ans=1ll,C[60][60];

long long ksm(long long x,long long y){
    for (ret=1; y; y>>=1,x=(x*x)%Ha)
        if (y&1) ret=(ret*x)%Ha;
    return ret;
}

int main(){
    for (C[0][0]=1,i=1; i<=55; i++)
        for (j=0; j<=55; j++)
            C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];

    scanf("%lld",&n);
    for (cnt=0,p=53,q=1ll<<p; q; q>>=1,p--) if (n&q){
        for (i=1; i<=p; i++)
            ans=(ans*ksm(cnt+i,C[p][i]))%Ha;
        ans=(ans*(++cnt))%Ha;
    }

    printf("%lld",ans);
}