哈理工第八届校团队赛E格子染色计数

题意：

Description

有排成一行的n个格子，你需要在 m 种颜色中选取 k 种颜色对这 n 个格子染色，要求k 种颜色都要使用，且相邻格子的颜色不同，求方案数（答案对 10^9 + 7取模）。

Input

第一行为测试数据组数T( 1 <= T <= 10).每组测试数据：第一行有两个个整数n, m, k. (1 <= n, m <= 1e9, k <= 1e6)。

Output

一个整数, 为染色方案数, 输出答案对 1e9 + 7 取模.

Sample Input

3 4 2

3 4 3

3 4 4

Sample Output

思路：

这道题难度不小，需要利用卢卡斯定理+容斥定理+线性求阶乘逆元来求解～，答案为C(m,k)✖️(k✖️(k-1)^(n-1) - C(k,k-1)✖️(k-1)✖️(k-2)^(n-1) + C(k,k-2)✖️(k-2)✖️(k-3)^{(n-1)…C(k,1)✖️1✖️0}(n-1))

代码：

#include <stdio.h>
#define ll long long
#define N 1000000
#define mod 1000000007

ll n, m, k;
ll fact[N + 5], inv[N + 5];

ll extend(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if(a == 0 && b == 0) return -1;
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll d = extend(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

ll reverse(ll a, ll n) {
    ll x, y;
    ll d = extend(a, n, x, y);
    if (d == 1) return (x % n + n) % n;
    return -1;
}

void init() {
    fact[0] = fact[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
        fact[i] = fact[i - 1] * i % mod;
    }
    inv[N] = reverse(fact[N], mod);
    for (int i = N - 1; i >= 0; i--) {
        inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
    }
}

ll C(ll n, ll m) {
    if (n < m || m < 0) return 0;
    if (n < mod) return fact[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
    return C(n / mod, m / mod) * C(n % mod, m % mod) % mod;
}

ll ls(ll n, ll m) {
    if (n < m || m < 0) return 0;
    ll mm = n - m;
    ll ans = 1;
    for (int i = mm + 1; i <= n; i++) {
        ans = i * ans % mod;
    }
    return ans * inv[m];
}

ll quick(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    while(b) {
        if (b & 1) {
            ans = ans * a % mod;
        }
        b /= 2;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}

int main() {
    init();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &k);
        ll ans = ls(m, k);
        ll t = k * quick(k - 1, n - 1) % mod;
        int tot = -1;
        for (int i = k - 1; i >= 1; i --) {
            t = (t + tot * (C(k, i) * i % mod * quick(i - 1, n - 1) % mod) + mod) % mod;
            tot = -tot;
        }
        ans = ans * t % mod;
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}

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如果有写的不对或者不全面的地方可通过主页的联系方式进行指正，谢谢

哈理工第八届校团队赛E格子染色计数

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