050惯性系到地球系的导航方程

假设惯性系中的导航方程为：
$\begin{cases} \dot r^i = V^i \\ \dot V^i = C_e^i C_b^e f^b + C_e^i g^e \\ \dot R_b^i = R_b^i \Omega_{ib}^b \end{cases}$

$\Omega_{ib}^b$ 为 $\omega_{ib}^b$ 的反对称阵。

为推得地球系上的导航方程，下面再推导两个方程：

1、坐标变换矩阵微分方程

假设e系有一固定矢量 $r^e$ (注意这个固定矢量是常值向量)，变换至i系得到 $r^i$ ，
$r^i=C_e^i r^e$
求导：
$\dot r^i = \dot C_e^i r^e$
而由于速度等于角速度乘矢径：
$\dot r^i = \omega^i \times r^i = \Omega^i r^i = C_e^i \Omega_{ie}^e C_i^e r^i$
带入上式：
$C_e^i \Omega_{ie}^e C_i^e r^i = \dot C_e^i r^e$
即：
$\tag{1} \dot C_e^i = C_e^i \Omega_{ie}^e$

2、向量变换关系式

假设任意a系中的位置矢量(注意不是常值向量)，变换到惯性系有：
$r^i = C_a^i r^a$
求导：
$\dot r^i = \dot C_a^i r^a + C_a^i \dot r^a$
顾及公式(1):
$\dot r^i = C_a^i \Omega_{ia}^a r^a + C_a^i \dot r^a$
再求导：
$\ddot r^i = \dot C_a^i \Omega_{ia}^a r^a + C_a^i \dot\Omega_{ia}^a r^a + C_a^i \Omega_{ia}^a \dot r^a + \dot C_a^i \dot r^a + C_a^i \ddot r^a$
顾及公式(1):
$\tag{2} \begin{aligned} \ddot r^i &= C_a^i \Omega_{ia}^a \Omega_{ia}^a r^a + C_a^i \dot\Omega_{ia}^a r^a + C_a^i \Omega_{ia}^a \dot r^a + C_a^i \Omega_{ia}^a \dot r^a + C_a^i \ddot r^a \\ &= C_a^i(\Omega_{ia}^a \Omega_{ia}^a r^a + \dot\Omega_{ia}^a r^a + \Omega_{ia}^a \dot r^a + \Omega_{ia}^a \dot r^a + \ddot r^a) \\ &= C_a^i(\ddot r^a + 2\Omega_{ia}^a \dot r^a + \dot\Omega_{ia}^a r^a + \Omega_{ia}^a \Omega_{ia}^a r^a) \end{aligned}$

下面进行惯性系导航方程向地球系的转换：

将公式(2)中的a系换为e系，那么有 $\dot\Omega_{ie}^e$ 等于0(地球自转角速度作为常数)，便有：
$\tag{3} \ddot r^i = C_e^i(\ddot r^e + 2\Omega_{ie}^e \dot r^e + \Omega_{ie}^e \Omega_{ie}^e r^e)$
而：
$\tag{4} \ddot r^i = f^i + G^i = C_e^i(C_b^e f^b+G^e)$
其中 $f^b$ 为比力向量， $G^e$ 为地球引力加速度向量；
比较公式(3)和公式(4)可得：
$C_b^e f^b+G^e = \ddot r^e + 2\Omega_{ie}^e \dot r^e + \Omega_{ie}^e \Omega_{ie}^e r^e$

$\ddot r^e = C_b^e f^b- 2\Omega_{ie}^e \dot r^e + G^e - \Omega_{ie}^e \Omega_{ie}^e r^e$
由于地球系中重力向量=引力加速度向量+离心加速度矢量，即：
$g^e = G^e - \Omega_{ie}^e \Omega_{ie}^e r^e$
所以：
$\ddot r^e = C_b^e f^b- 2\Omega_{ie}^e \dot r^e + g^e= \dot V^e$
结合：
$\dot r^e = V^e$

$\dot C_b^e = C_b^e \Omega_{eb}^b = C_b^e(\Omega_{ib}^b - \Omega_{ie}^b)$

得到地球系中的导航方程：
$\begin{cases} \dot r^e = V^e\\ \dot V^e=C_b^e f^b- 2\Omega_{ie}^e \dot r^e + g^e\\ \dot C_b^e = C_b^e(\Omega_{ib}^b - \Omega_{ie}^b) \end{cases}$

参考自：《GPS/INS组合导航定位及其应用》,董绪荣
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