暑假集训（基础数论：中国剩余定理）

四.中国剩余定理 ( 孙子定理 / CRT )

1.描述：

设正整数两两互素，则同余方程组

                             

有整数解。并且在模下的解是唯一的，解为

                               

其中，而为模的逆元。

2.代码实现：

(1)互质：

//求M%A=a,M%B=b,...中的M，其中A,B,C...互质
int CRT(int a[],int m[],int n){  
    int M = 1;  
    int ans = 0;  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
        M *= m[i];  
    for(int i=1; i<=n; i++){  
        int x, y;  
        int Mi = M / m[i];  
        ex_gcd(Mi, m[i], x, y);  
        ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;  
    }  
    if(ans < 0) 
       ans += M;  
    return ans;  
}  

 

(2)非互质：

一般的中国剩余定理要求mi两两互质，但是保证互质条件太苛刻了，若mi并不满足两两互质时，就要采用两两合并的思想，假设要合并如下两个方程 
x=a1+m1*x1 
x=a2+m2*x2

得到 
a1+m1*x1 = a2+m2*x2 → m1*x1+m2*x2 = a2-a1

再通过扩展欧几里得算法解出x1的最小正整数解，代入 
x=a1+m1*x1

得到x后合并为一个方程的结果为 
y ≡ x(mod lcm(m1,m2))

这样一直合并下去，最终可以求得同余方程组的解。

代码：

bool merge(LL a1, LL m1, LL a2, LL m2, LL &a3, LL &m3)  {  
    LL d = gcd(m1, m2);  
    LL c = a2 - a1;  
    if(c % d) return false;  
    c = (c % m2 + m2) % m2;  
    m1 /= d;  
    m2 /= d;  
    c /= d;  
    c *= Inv(m1, m2);//Inv为乘法逆元，数论常用内容——欧几里得算法与扩展欧几里得算法
    c %= m2;  
    c *= m1 * d;  
    c += a1;  
    m3 = m1 * m2 * d;  
    a3 = (c % m3 + m3) % m3;  
    return true;  
}  
 
LL CRT(LL a[], LL m[], int n)  {  
    LL a1 = a[1];  
    LL m1 = m[1];  
    for(int i=2; i<=n; i++)  {  
        LL a2 = a[i];  
        LL m2 = m[i];  
        LL m3, a3;  
        if(!merge(a1, m1, a2, m2, a3, m3))  
            return -1;  
        a1 = a3;  
        m1 = m3;  
    }  
    return (a1 % m1 + m1) % m1;  
}  

3.例题：

(1) POJ 1006

题意：

人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。

代码：

#include <iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<deque>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#include<ctime>
using namespace std;
#define eps 1e-10
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long LL;

void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d)
{
    if (!b)
    {
        d = a, x = 1, y = 0;
    }
    else
    {
        ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
        y -= x * (a / b);
    }
}
LL inv(LL a,LL b)
{
    LL  d, x, y;
    ex_gcd(a, b, x, y, d);
     return d == 1 ? (x % b + b) % b : -1;
}
LL CRT(LL *t,LL *m,int n)
{
    LL M=1,ans=0;
    for(int i=0; i<n; i++)
        M*=m[i];
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        LL w=M/m[i];
        ans=(ans%M+w%M*inv(w,m[i])%M*t[i]%M)%M;
    }
    return (ans+M)%M;
}
int main()
{
    LL m[100],t[100],z;
    m[0]=23;
    m[1]=28;
    m[2]=33;
    LL MOD=(m[0]*m[1]*m[2]);
    while(cin>>t[0]>>t[1]>>t[2]>>z&&(~t[0]||~t[1]||~t[2]||~z))
    {
        LL days;
        cout<<"Case 1: the next triple peak occurs in ";
        days=(CRT(t,m,3)-z+MOD)%MOD;
        if(!days)
            days+=MOD;
        cout<<days;
        cout<<" days."<<endl;
    }
}