牛客练习赛29 C题 枇杷

题意：

二维平面的第一象限内，有两种操作，一是在某个点的权值加一，二是查询一个直角梯形范围内的权值的和。

题解：

std解法是CDQ分治，想了个分块暴力的方法，速度竟然是最快的。。。

将整个第一象限分为128*128（1<<7）个块，每个块是边长为（1<<23）的正方形，这样可以表示坐标（1<<30）范围内的点，满足题目给出的范围

建立一个128*128的二维树状数组，用来求一个矩形区域内的权值的和

对于第一种操作，求出点所在的块，在二维树状数组中单点修改就行

关键是第二种操作

一个直角梯形：

分解为：

矩形和直角三角形分开计算

矩形部分：

先确定矩形的边界占据的块，即求出矩形所在块的x方向和y方向的范围：l , r , dn , up

那么，范围 l+1 ~ r-1 , dn+1 ~ up -1 内的块中的点一定是在矩形范围内的，就是下图中的绿色部分

绿色部分的权值和用二维树状数组解决，4条边界所经过的块就必须要遍历一遍，对于每一个块，看块中包含的点在矩形内的个数，两部分加一起就是矩形范围内的权值和

然后是三角形部分

由于不是矩形，无法通过二维树状数组一次求解，方法是遍历左右区间，即 x 方向在 [ l+1 , r-1 ] ，y方向为 dn+1 的块，就是绿色块的底边，通过直线方程可以计算出当前列的绿色块的上限，显然每一列的个数是不同的，这样一列一列计算出绿色块包含的权值和（这里由于是一列，所以可以用一维树状数组求解），再遍历边界经过的块，两部分加一起就是三角形范围内的权值和

具体实现起来方法很多，不同方法需要考虑的细节不一样，下面的方法需要考虑的细节比较少。

复杂度分析

最坏1e5个点，1e4多个块，由于数据随机，平均一个块不到10个点

操作一复杂度为二维树状数组复杂度：log*log，即7*7

操作二复杂度

矩形：一个二维树状数组查询：log*log，边界经过的块的期望值为128个，每个块平均有10个点，总复杂度为128*10

三角形：边界经过的块的期望值为128个，求绿色块时每一列查询一次一维树状数组，单次为log，共128*7，边界复杂度同矩形，为128*10，总复杂度为128*10

所以，操作二复杂度为128*10

由于操作一二是随机出现，实际复杂度远远达不到上限，原因：首先前期每个块中点的个数远达不到10，后期个数可能会多一点，但这一定是操作一过多导致的，这又导致操作二变得很少，于是发现真正耗时间的操作二少很多。一次操作姑且期望为 1e3，共有1e5个操作，总用时1e8

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100010
#define INF 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-10
#define pi 3.141592653589793
#define mod 998244353
#define LL long long
#define pb push_back
#define cl clear
#define si size
#define lb lower_bound
#define ub upper_bound
#define mem(x) memset(x,0,sizeof x)
#define sc(x) scanf("%d",&x)
#define scc(x,y) scanf("%d%d",&x,&y)
#define sccc(x,y,z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)
using namespace std;
struct Point
{
    int x,y;
};
vector<Point> a[1<<7][1<<7];
int dd[1<<7][1<<7],f[1<<7][1<<7],op,x,y,xx,d;

inline void update(int x,int y)
{
    for (int i=x;i<128;i|=(i+1))
        for (int j=y;j<128;j|=(j+1))
            dd[i][j]++;
    for (int i=y;i<128;i|=(i+1))
        f[x][i]++;
}

inline int sum(int x,int y)
{
    int res=0;
    for (int i=x;i>=0;i=(i&(i+1))-1)
        for (int j=y;j>=0;j=(j&(j+1))-1)
            res+=dd[i][j];
    return res;
}

inline int gsum(int x,int y)
{
    int res=0;
    for (int i=y;i>=0;i=(i&(i+1))-1)
        res+=f[x][i];
    return res;
}

inline int spyer(int l,int r,int dn,int up)  //矩形
{
    if (r>127) r=127;
    if (up>127) up=127;
    int res=0,t=xx+d+y;
    for (int i=l;i<=r;i++)
    {
        for (int j=0;j<a[i][up].size();j++)  //上边界
        {
            int tx=a[i][up][j].x,ty=a[i][up][j].y;
            if (tx>=x && tx<=xx && ty<=y+d && ty>=y) res++;else
            if (tx>xx && tx<=xx+d && ty>=y && tx+ty<=t) res++;
        }
        if (dn<up)
        for (int j=0;j<a[i][dn].size();j++)  //下边界
        {
            int tx=a[i][dn][j].x,ty=a[i][dn][j].y;
            if (tx>=x && tx<=xx && ty>=y && ty<=y+d) res++;else
            if (tx>xx && tx<=xx+d && ty>=y && tx+ty<=t) res++;
        }
    }

    for (int i=dn+1;i<up;i++)
    {
        for (int j=0;j<a[l][i].size();j++)  //左边界
        {
            int tx=a[l][i][j].x,ty=a[l][i][j].y;
            if (tx>=x && tx<=xx && ty>=y && ty<=y+d) res++;else
            if (tx>xx && tx<=xx+d && ty>=y && tx+ty<=t) res++;
        }
        if (l<r)
        for (int j=0;j<a[r][i].size();j++) //右边界
        {
            int tx=a[r][i][j].x,ty=a[r][i][j].y;
            if (tx>=x && tx<=xx && ty>=y && ty<=y+d) res++;else
            if (tx>xx && tx<=xx+d && ty>=y && tx+ty<=t) res++;
        }
    }

    l++;r--;dn++;up--;
    if (l>r || dn>up) return res;else
    return res+sum(r,up)-sum(l-1,up)-sum(r,dn-1)+sum(l-1,dn-1);
}

inline int spyerr()  // 三角形
{
    int res=0;
    int nx=((xx>>23)+1)<<23,t=xx+d+y;  //三角形的左边界在矩形上其实已经算过了，重新确定需要计算的左边界，一定是某一个块的起始位置
    xx+=d;
    if (nx>xx) return 0;
    if ((nx>>23)>127) return 0;
    int l=nx>>23,r=xx>>23,dn=y>>23;
    for (int i=l;i<=r;i++)  // 计算下边界
    {
        for (int j=0;j<a[i][dn].size();j++)
        {
            int tx=a[i][dn][j].x,ty=a[i][dn][j].y;
            if (tx>=nx && tx<=xx && ty>=y && tx+ty<=t) res++;
        }
    }
    int ny=(dn+1)<<23; y=t-nx; //重新确定需要计算的下边界，一定是某一个块的起始位置
    xx=t-ny; r=xx>>23;
    if (ny>y) return res;
    for (int i=l;i<=r;i++)
    {
        int tx=i<<23,ttx=((i+1)<<23)-1,ty=t-tx,tty=t-ttx,t1=ty>>23,t2=tty>>23;  //当前列的块的坐标左右边界所处的块为t1,t2
        if (t1<128) for (int j=0;j<a[i][t1].size();j++)  // 斜边经过的块的计算
        {
            int tx=a[i][t1][j].x,ty=a[i][t1][j].y;
            if (tx>=nx && tx<=xx && ty>=ny && tx+ty<=t) res++;
        }
        if (t2!=t1 && t2>dn && t2<128)
        for (int j=0;j<a[i][t2].size();j++)   // 斜边经过的块的计算
        {
            int tx=a[i][t2][j].x,ty=a[i][t2][j].y;
            if (tx>=nx && tx<=xx && ty>=ny && tx+ty<=t) res++;
        }
        if (t2>127) t2=128;
        if (t2-1>dn)res+=gsum(i,t2-1)-gsum(i,dn);   //绿色的块计算
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    sc(n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        sc(op);
        if (op==1)
        {
            scc(x,y);
            a[x>>23][y>>23].pb(Point{x,y});
            update(x>>23,y>>23);
        }else
        {
            scc(x,y); scc(xx,d);
            int tmp=spyer(x>>23,xx>>23,y>>23,(y+d)>>23);
            tmp+=spyerr();
            printf("%d\n",tmp);
        }
    }
}