（二）贝叶斯和朴素贝叶斯

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1、贝叶斯公式

$$P(Y|X)=\frac{P(X|Y)P(Y)}{P(X)}$$
由 $P(Y,X) = P(Y|X)P(X)=P(X|Y)P(Y)$推导而来，其中 P(Y) 叫做 先验概率， P(Y|X) 叫做 后验概率， P(Y,X) 叫做 联合概率。一般『先验概率』、『后验概率』是相对出现的，比如 P(Y) 与 P(Y|X) 是关于 Y 的先验概率与后验概率， P(X) 与 P(X|Y) 是关于 X 的先验概率与后验概率。

2、机器学习形式的贝叶斯公式

X 理解成“具有某特征”， Y 理解成“类别标签”。在最简单的二分类问题下，我们将 Y 理解成“属于某类”的标签。于是贝叶斯公式就变形成了下面的样子:

$$P(“属于某类”|“具有某特征”)=\frac{P(“具有某特征”|“属于某类”)P(“属于某类”)}{P(“具有某特征”)}$$
解释如下：
$$P(“属于某类”|“具有某特征”)=在已知某样本“具有某特征”的条件下，该样本“属于某类”的概率。所以叫做『后验概率』$$
$$P(“具有某特征”|“属于某类”)=在已知某样本“属于某类”的条件下，该样本“具有某特征”的概率。$$
$$P(“属于某类”) =（在未知某样本具有该“具有某特征”的条件下，）该样本“属于某类”的概率。所以叫做『先验概率』。$$
$$P(“具有某特征”) =(在未知某样本“属于某类”的条件下，)该样本“具有某特征”的概率。$$
而我们二分类问题的最终目的就是要判断 P(“属于某类”|“具有某特征”) 是否大于1/2就够了。 贝叶斯方法把计算“具有某特征的条件下属于某类”的概率转换成需要计算“属于某类的条件下具有某特征”的概率，而后者获取方法就简单多了，我们只需要找到一些包含已知特征标签的样本，即可进行训练。而样本的类别标签都是明确的，所以贝叶斯方法在机器学习里属于有监督学习方法。

4、实例：垃圾邮件识别

(1)问题

目标是判断 P(“垃圾邮件”|“具有某特征”) 是否大于1/2。现在假设我们有垃圾邮件和正常邮件各1万封作为训练集。需要判断以下这个邮件是否属于垃圾邮件：“我司可办理正规发票（保真）17%增值税发票点数优惠！”

（2）分析

也就是判断概率 P(“垃圾邮件”|“我司可办理正规发票（保真）17%增值税发票点数优惠！”) 是否大于1/2。即统计出所有垃圾邮件和正常邮件中出现这句话的次数。

$$P(“垃圾邮件”|“我司可办理正规发票（保真）17\%增值税发票点数优惠！”)=\frac{垃圾邮件中出现这句话的次数}{垃圾邮件中出现这句话的次数+正常邮件中出现这句话的次数}$$
（3）问题转化求解

句子“我司可办理正规发票，17%增值税发票点数优惠！”可以变成（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)）。因此贝叶斯公式就变成了：

$$P(“垃圾邮件”|“我司可办理正规发票（保真）17\%增值税发票点数优惠！”)=\frac{P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)|"垃圾邮件"）P(“垃圾邮件”)}{P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)) }$$
$$P(“正常邮件”|（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)=\frac{P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)|"正常邮件"）P(“正常邮件”)}{P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)) }$$

5、条件独立假设(朴素贝叶斯的引入)

概率 P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)|”垃圾邮件”） 依旧不够好求，我们引进一个很朴素的近似。为了让公式显得更加紧凑，我们令字母S表示“垃圾邮件”,令字母H表示“正常邮件”。近似公式如下：

$$P((“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)|S))=P(“我”|S)×P(“司”|S)×P(“可”|S)×P(“办理”|S)×P(“正规发票”|S)×P(“保真”|S)×P(“增值税”|S)×P(“发票”|S)×P(“点数”|S)×P(“优惠”|S)$$
以上是 条件独立假设；将条件独立假设代入上面两个相反事件的贝叶斯公式，有
$$C=P(“我”|S)P(“司”|S)P(“可”|S)P(“办理”|S)P(“正规发票”|S) ×P(“保真”|S)P(“增值税”|S)P(“发票”|S)P(“点数”|S)P(“优惠”|S)P(“垃圾邮件”)$$

$$\overline{C}=P(“我”|H)P(“司”|H)P(“可”|H)P(“办理”|H)P(“正规发票”|H) ×P(“保真”|H)P(“增值税”|H)P(“发票”|H)P(“点数”|H)P(“优惠”|H)P(“正常邮件”)$$
这样，只需要分别统计各类邮件中该关键词出现的概率就可以了,比如
$$P(“发票”|S）=\frac{垃圾邮件中所有“发票”的次数}{垃圾邮件中所有词语的次数}$$
统计次数非常方便，而且样本数量足够大，算出来的概率比较接近真实。于是垃圾邮件识别的问题就可解了

6、朴素贝叶斯(Naive Bayes)

加上条件独立假设的贝叶斯方法就是朴素贝叶斯方法（Naive Bayes）。在朴素贝叶斯眼里，“我司可办理正规发票”与“正规发票可办理我司”完全相同。朴素贝叶斯失去了词语之间的顺序信息。这就相当于把所有的词汇扔进到一个袋子里随便搅和，贝叶斯都认为它们一样。因此这种情况也称作词袋子模型(bag of words)。

7、处理重复词语的三种方式

前面介绍的垃圾邮件向量（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)，其中每个词都不重复。而这在现实中其实很少见。因为如果文本长度增加，或者分词方法改变，必然会有许多词重复出现，因此需要对这种情况进行进一步探讨。比如以下这段邮件：“代开发票。增值税发票，正规发票。” 分词后为向量： （“代开”,“发票”,“增值税”,“发票”,“正规”,“发票”）其中“发票”重复了三次。

(1)多项式模型

(计算句子概率)重复的词语我们视为其出现多次

$$P(（“代开”,“发票”,“增值税”,“发票”,“正规”,“发票”)|S） =P(“代开””|S)P(“发票”|S)P(“增值税”|S)P(“发票”|S)P(“正规”|S)P(“发票”|S） =P(“代开””|S)P^3(“发票”|S)P(“增值税”|S)P(“正规”|S)$$
注意这一项： $P^3(“发票”|S）$

(统计计算词语的概率)在统计计算P(“发票”|S）时，每个被统计的垃圾邮件样本中重复的词语也统计多次。

$$P(“发票”|S）=\frac{每封垃圾邮件中出现“发票”的次数的总和}{每封垃圾邮件中所有词出现次数（计算重复次数）的总和}$$

(2)伯努利模型

计算句子概率，统计计算词语的概率，将重复的词语都视为其只出现1次

(3)混合模型

在计算句子概率时，不考虑重复词语出现的次数，但是在统计计算词语的概率P(“词语”|S）时，却考虑重复词语的出现次数，这样的模型可以叫作混合模型。

8、平滑技术

防止分母为0
对于伯努利模型，P(“正规发票”|S）的一种平滑算法是：

$$P(“正规发票”|S）=\frac{出现“正规发票”的垃圾邮件的封数+1}{每封垃圾邮件中所有词出现次数（出现了只计算一次）的总和+2}$$
对于多项式模型，P(“正规发票”| S）的一种平滑算法是：
$$P(“发票”|S）=\frac{每封垃圾邮件中出现“发票”的次数的总和+1}{每封垃圾邮件中所有词出现次数（计算重复次数）的总和+被统计的词表的词语数量}$$

小结

朴素贝叶斯进行文本分类的思路过程：基本思路是先区分好训练集与测试集，对文本集合进行分词、去除标点符号等特征预处理的操作，然后使用条件独立假设，将原概率转换成词概率乘积，再进行后续的处理。

$$贝叶斯公式 + 条件独立假设 = 朴素贝叶斯方法$$
基于对重复词语在训练阶段与判断（测试）阶段的三种不同处理方式，我们相应的有伯努利模型、多项式模型和混合模型。在训练阶段，如果样本集合太小导致某些词语并未出现，我们可以采用平滑技术对其概率给一个估计值。而且并不是所有的词语都需要统计，我们可以按相应的“停用词”和“关键词”对模型进行进一步简化，提高训练和判断速度。

补充：实际工程的tricks

(1)取对数

几万个数相乘起来还是非常花时间的。把这些乘法变成加法则方便得多。可以利用数学中的对数函数log就可以实现这样的功能。两边同时取对数。

(2)转换为权重

对于二分类，我们还可以继续提高判断的速度。既然要比较 $logC$ 和 $log{\overline{C}}$ 的大小，那就可以直接将上下两式相减，并继续化简：

$$log{\frac{C}{\overline{C}}}=log{\frac{P(“我”|S)}{P(“我”|H)}}+log{\frac{P(“司”|S)}{P(“司”|H)}}+log{\frac{P(“可”|S)}{P(“可”|H)}}+log{\frac{P(“办理”|S)}{P(“办理”|H)}}+log{\frac{P(“正规发票”|S)}{P(“正规发票”|H)}} +log{\frac{P(“保真”|S)}{P(“保真”|H)}}+log{\frac{P(“增值税”|S)}{P(“增值税”|H)}}+log{\frac{P(“发票”|S)}{P(“发票”|H)}}+log{\frac{P(“点数”|S)}{P(“点数”|H)}}+log{\frac{P(“优惠”|S)}{P(“优惠”|H)}}+log{\frac{P(“正常邮件”|S)}{P(“正常邮件”)}}$$
$log{\frac{C}{\overline{C}}}$如果大于0则属于垃圾邮件。我们可以把其中每一项作为其对应词语的权重，比如 $log{\frac{P(“发票”|S)}{P(“发票”|H)}}$ 就可以作为词语“发票”的权重，权重越大就越说明“发票”更可能是与“垃圾邮件”相关的特征。这样可以根据权重的大小来评估和筛选显著的特征，比如关键词。而这些权重值可以直接提前计算好而存在hash表中 。判断的时候直接将权重求和即可。

(3)选取topk的关键词

前文说过可以通过提前选取关键词来提高判断的速度。有一种方法可以省略提前选取关键词的步骤，就是直接选取一段文本中权重最高的K个词语，将其权重进行加和。

参考
七月在线