[poj 1821] Fence {单调队列优化dp}

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题目

http://poj.org/problem?id=1821

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解题思路

先把所有工匠按照 $S_{i}$排序，这样，每个工匠粉刷的木板一定在上一个工匠粉刷的木板之后。
设 $F[i,j]$表示安排前 $i$个工匠粉刷前 $j$块木板，工匠们能获得的最多报酬：

1. $F[i,j]=F[i-1,j]$
2. $F[i,j]=F[i,j-1]$
3. $F[i,j]=max\{ F[i-1,k]+P_{i}*(j-k) \}$，其中 $j-L_{i}\leq k \leq S_{i}-1,j \geq S_{i}$

然后我们可以用单调队列维护一个决策点 $k$单调递增，数值 $F[i-1,k]-P_{i}*k$单调递减的队列。支持如下几种操作：

1. 当 $j$变大时，检查队头元素，把小于 $j-L_{i}$的决策出队。
2. 需要查询最有决策时，队头即为所求。
3. 有一个新的决策要加入候选集合时，在队尾检查 $F[i-1,k]-P_{i}*k$的单调性，把无用决策从队尾直接出队，最后把新决策加入队列。

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代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std; 
struct rec{int L,P,S;}a[110];
int n,m; 
int f[110][16010],q[16010]; 
bool operator <(rec a,rec b){return a.S<b.S;}
int calc(int i,int k){return f[i-1][k]-a[i].P*k;}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m); 
	for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&a[i].L,&a[i].P,&a[i].S);
	sort(a+1,a+m+1); 
	for (int i=1;i<=m;i++){
		int l=1,r=0; //初始化单调队列
		for (int k=max(0,a[i].S-a[i].L);k<=a[i].S-1;k++){
			while (l<=r&&calc(i,q[r])<=calc(i,k)) r--; //插入新决策，维护队尾单调性
			q[++r]=k; 
		}
		for (int j=1;j<=n;j++){
			f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);		//不粉刷时的转移
			if (j>=a[i].S) {
				while (l<=r&&q[l]<j-a[i].L) l++; //排除队头不合法决策
				if (l<=r) f[i][j]=max(f[i][j],calc(i,q[l])+a[i].P*j); //队列非空时，取队头进行状态转移
			}
		}
	}
	printf("%d",f[m][n]); 
}