#单调队列，动态规划#poj 1821 fence

题目

有n块木板，m个工匠将其进行粉刷，木板至多被粉刷一次，工匠要么不粉刷，要么粉刷包含木板$S_i$的、长度不超过$L_i$的连续的一段木板，每粉刷一块可得$P_i$的报酬。求最大的总报酬。

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分析

先把$S_i$排序，可以按顺序dp，设$f[i][j]$表示前i个工匠粉刷前j块木板（可以不刷）最大的总报酬。
1. 第i个工匠什么也不刷，$f[i][j]=f[i-1][j]$
2. 第j个工匠不刷，$f[i][j]=f[i][j-1]$
3. $f[i][j]=max(f[i-1][k]+P_i*(j-k))|j-L_i\leq k\leq S_i-1且j\geq S_i$
优化变成
$f[i][j]=P_i*j+max(f[i-1][k]-P_i*k)|j-L_i\leq k\leq S_i-1且j\geq S_i$
设$k_1<k_2<j，k_1$会比$k_2$早排除，
如果满足$f[i-1][k_1]-P_i*k_1\leq f[i-1][k_2]-P_i*k_2$,那k1就无用了，
所以可以维护k单调递增，$f[i-1][k]-P_i*k$单调递减。
1. 当j变大时，检查队首，把$<j-L_i$出队
2. 需要查询时，队首就是所求
3. 当有一个新的决策，在队尾检查单调性，把无用决策出队，把新决策加入队列
时间复杂度O（nm）

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代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
struct rec{int l,p,s;}a[101]; 
int n,m,f[101][16001],q[16001];
int in(){
    int ans=0; char c=getchar();
    while (!isdigit(c)) c=getchar();
    while (isdigit(c)) ans=ans*10+c-48,c=getchar();
    return ans;
}
bool cmp(rec x,rec y){return x.s<y.s;}
int main(){
    n=in(); m=in();
    for (int i=1;i<=m;i++) a[i].l=in(),a[i].p=in(),a[i].s=in();
    std::stable_sort(a+1,a+1+m,cmp); 
    for (int i=1;i<=m;i++){
        int l=1,r=0;
        for (int k=std::max(0,a[i].s-a[i].l);k<=a[i].s-1;k++){
            while (l<=r&&f[i-1][q[r]]-a[i].p*q[r]<=f[i-1][k]-a[i].p*k) r--;
            q[++r]=k;
        }
        for (int j=1;j<=n;j++){
            f[i][j]=std::max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
            if (j>=a[i].s){
                while (l<=r&&q[l]<j-a[i].l) l++;
                if (l<=r) f[i][j]=std::max(f[i][j],f[i-1][q[l]]-a[i].p*q[l]+a[i].p*j);
            }
        }
    }
    return !printf("%d",f[m][n]);
}