算法--迭代法

迭代法

迭代法（Iteration）是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法，一般用于数值计算。累加、累乘都是迭代算法的基础应用。典型案例：牛顿迭代法”。

步骤：

确定迭代模型：分析得出前一个（或几个）值与其下一个值的迭代关系数学模型；
建立迭代关系式
对迭代过程进行控制

经典案例：

示例： 斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34

function fibonacci(n) {
	let a = 1, b = 1, c = 1
    for(let i = 2; i <= n; i++) {
        c = a + b
        a = b
        b = c
    }  
    return c
}

对于斐波那契数列，当n趋于无穷时，数列最后的两项的商 (x_n-1/x_n) 趋于黄金分割数0.618

示例： 最大公约数，采用辗转相除法（欧几里得算法）

定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数，和两数相除余数的最大公约数。

gcd(a, b) = gcd(a, a mod b)

function gcd (a, b) {
	if (a < b) {
        [a, b] = [b, a]
    }
	let temp
	while (b > 0) {
		temp = a % b
		a = b
		b = temp
	}
	return a
}

示例： 牛顿迭代法

一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，其比一般的迭代法有更高的收敛速度。

首先，选择一个接近函数 f(x) 零点的点，如图为 $ (x_n, f(x_n)) $ ，计算相应的切线斜率 $ {f^{’}(x_n)} $ ，$ k = tan\alpha = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 得到如下方式
$y = f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1} - x_n)$
和 x 轴的交点坐标，也就是下面方式的解：
$f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1} - x_n) = 0$
通常 $x_{n+1}$ 会比 $x_n$ 更接近方程的解，接下来继续迭代，直到达到要求的精度即可。

$\mathbb{x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f^{'}(x_n)}}$
例：求 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 方程的根，系数分别是1，2，3，4。求x在1附件的一个实根。

function f(a, b, c, d) {
	let x0, x1 = 1, f0, f1
	do {
		x0 = x1
		f0 = a * Math.pow(x0, 3) + b * Math.pow(x0, 2) + c * x0 + d
		// 求导后函数
		f1 = 3 * a * Math.pow(x0, 2) + 2 * b * x0 + c
		x1 = x0 - f0/f1
	} while (Math.abs(x1 - x0) >= Math.pow(Math.E, -4)) 
	return x1
}

例：求根号x的近似值
$x^2 = n\\ x^2 - n = 0\\ f(x) = x^2 - n$
我想求根号2等于多少，我猜测值为4，根据牛顿迭代定律： x_{n+1} = x - \frac{x^2 - n}{2x} = \frac{1}{2}(x + \frac{n}{x})
$\frac{1}{2}(4 + \frac{2}{4}) = 2.25\\ \frac{1}{2}(2.25 + \frac{2}{2.25}) = 1.56944\\ \frac{1}{2}(1.56944 + \frac{2}{1.56944}) = 1.42189\\ \frac{1}{2}(1.42189 + \frac{2}{1.42189}) = 1.41423$

function mySqrt (num) {
    let x0, x1 = 4, f0, f1
    do {
      	x0 = x1
		f0 = Math.pow(x0, 2) - num
		// 求导后函数
		f1 = 2 * x0
		x1 = x0 - f0/f1  
    } while (Math.abs(x1 - x0) >= Math.pow(Math.E, -4)) 
    return x1
}

引深：

物体直线运动时，路程 s 与时间 t 的函数关系为 $s = f(t)$ ，且 $f(t)$ 在 $t = t_0$ 时的导数 $f'(t_0)$ 存在；则在物理上， $f'(t_0)$ 表示物体在时刻 $ t_0$ 的瞬时速度 $v{(t)}$ ，而 $v'{(t)}$ 为加速度，即时间 $f’'(t)$ 为加速度！

迭代法

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