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引言
k为单位向量,向量v绕旋转轴k旋转Θ得到向量vrot, 那么就有下面的旋转方程使等式成立:
vrot = Rv
而这个旋转方程就是罗德里格斯方程:
R=cosΘ I + (1 - cosΘ )kkτ + sinΘK
下面开始推导:
推导:
向量分解 ,
v // = (v•k)k (向量点乘得标量,k为单位向量)
vrot = vrot⊥ + v //
vrot⊥ = a + b
由图中的向量关系可得:b= cosΘ v⊥ a=sinΘ k x v
vrot = vrot⊥+v//
= a + b + v//
= sinΘ k x v + cosΘ v⊥ + (v • k)k
= sinΘ k x v + cosΘ (v - v//)+ (v • k)k
= sinΘ k x v + cosΘ (v - (v • k)k)+ (v • k)k
= cosΘ v + (1 - cosΘ )(v • k)k + sinΘ k x v
所以:
cosΘ v + (1 - cosΘ )(v • k)k + sinΘ k x v
= cosΘ v + (1 - cosΘ )kkτv + sinΘKv
=( cosΘ I + (1 - cosΘ )kkτ + sinΘK ) v
=Rv