因子分析基本思想
和主成分分析相似，首先从原理上说，主成分分析是试图寻找原有自变量的一个线性组合，取出对线性关系影响较大的原始数据，作为主要成分。
因子分析，是假设所有的自变量可以通过若干个因子（中间量）被观察到。什么意思呢，举个例子，比如一个学生的考试成绩，语文80，数学95，英语79，物理97，化学94 ，那么我们认为这个学生理性思维较强，语言组织能力较弱。其中理性思维和语言组织能力就是因子。通过这两个因子，我们能够观察到他的偏理科的成绩较高，偏文科的成绩较低。这就是因子分析，通过这点，大家就可以感受到，因子分析和主成分分析是明显不一样的。
因子分析又存在两个方向，一个是探索性因子分析（exploratory factor analysis）。另一个是验证性因子分析（confirmatory factor analysis）。探索性因子分析是不确定一堆自变量背后有几个因子，我们通过这种方法试图寻找到这几个因子。而验证性因子分析是已经假设自变量背后有几个因子，试图通过这种方法去验证一下这种假设是否正确。验证性因子分析又和结构方程模型有很大关系。后面我们会专门的介绍，今天先介绍探索性因子分析。
数学推导
基于R的因子分析
数据是来自上市公司的财务指标，因此想通过因子分析将财务指标进降维，希望提取出一些反应不同特征的因子出来。最后根据因子对上市公司进行排名。
#设置路径
setwd('D:/Rdata')
#清除空间变量
rm(list = ls())
#载入读取excel的包
library(readxl)
library(psy)
#读取数据
dat.fact <- read_excel(file='MicEcoData.xlsx')
head(dat.fact)
# A tibble: 6 x 8
资产负债率 总资产增长率B 基本每股收益增长率B 净利润增长率B 营业利润增长率B 每股收益 每股营业收入
<dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1 0.950996 0.324008 0.044776 0.026753 0.056436 0.7000 2.054515
2 0.552744 0.473920 0.315789 0.773855 0.799483 0.2500 0.379673
3 0.068507 1.966211 0.417778 1.195843 1.199118 0.1276 0.251927
4 0.580620 0.338351 1.479791 2.792940 2.749402 0.1902 0.296074
5 0.389105 0.083378 -0.250000 -0.224369 -0.177181 0.0600 0.153072
6 0.755508 0.061588 -0.444444 0.435094 0.435804 0.0500 0.206344
# ... with 1 more variables: 销售净利率 <dbl>
#重新命个名
names(dat.fact) <- paste('x', 1:ncol(dat.fact), sep='')
#进行因子分析，设置因子个数为两个
factor.result <- factanal(x=dat.fact, factor=2, scores="regression")
#查看图
psy::scree.plot(dat.fact)
#查看因子分析的各种结果
names(factor.result)
[1] "converged" "loadings" "uniquenesses" "correlation" "criteria" "factors"
[7] "dof" "method" "rotmat" "scores" "STATISTIC" "PVAL"
[13] "n.obs" "call"
print(factor.result)
Call:
factanal(x = dat.fact, factors = 2, scores = "regression")
Uniquenesses:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
0.508 0.005 0.005 0.005 0.005 0.281 0.507 0.710
Loadings:
Factor1 Factor2
x1 0.695
x2 0.997
x3 0.997
x4 0.998
x5 0.998
x6 0.846
x7 0.702
x8 0.251 -0.476
Factor1 Factor2
SS loadings 4.054 1.931
Proportion Var 0.507 0.241
Cumulative Var 0.507 0.748
Test of the hypothesis that 2 factors are sufficient.
The chi square statistic is 357.17 on 13 degrees of freedom.
The p-value is 2.4e-68
> 
现在经过因子分析已经将原来的8个财务指标进行合并，形成了两个因子，那么这两个因子按照加权合并，就形成了一个指标，通过对这一个指标进行排序，就可以得到上市公司的排名。下面是代码实现 ：
# 计算权重
lambdas <- eigen(factor.result$correlation)$value # 就是特指值所占的比例
(w <- lambdas[1:2]/sum(lambdas[1:2]))
0.6391052 0.3608948
#计算因子得分
score <- factor.result$scores
eva <- score %*% w # 进行排序
eva
[,1]
[1,] 0.44919649
[2,] -0.21418681
[3,] -0.47822650
[4,] -0.22218907
[5,] -0.45469601
[6,] -0.31123904
[7,] -0.33324507
[8,] -0.31634880
[9,] 0.16510054
[10,] 0.19619702结论
本节带领大家了解了一下，因子分析。通过因子分析主要发掘变量背后存在的潜变量。并且提到了主成分分析与因子分析的不同，主成分分析主要是想寻找原始特征的一个线性组合。这个组合方差要最大。方差最大保证了主要成分的提取。为了计算方便，提出了一些假设，使得主成分分析成为了一个约束优化问题。而因子分析呢，是从假设开始入手，假设原始特征是由于因子的影响产生的，因此可以写出,从这个表达式逐步进行假设求解。当然呢，主成分分析和因子分析有相似的地方，主要就是求解过程中，都很巧妙地和特征值，特征向量挂起关系。