ml课程：SVM相关（含代码实现）

以下是我的学习笔记，以及总结，如有错误之处请不吝赐教。

本文主要介绍svm的创始人Vapnik‘s如何一步一步构建出这个经典算法模型的，同时也可以给我们以后算法之路提供一个思路，即使你对优化等数学方法不熟悉，依然可以创造出很好的算法。

下svm关键的几个idea：

KEY IDEA 1:支持向量机最关键的一个假设是我们在分类过程中，最重要的是找到一个决策边界，而且我们希望这个决策边界泛化能力是最好的，而svm则是找到一条widest street way，这条街是由支持向量所构成的。我们假设支持向量所在点与原点构成的向量为 $\vec{u}$ ，与决策边界垂直的方向法向量为 $\vec{w}$ ，支持向量到决策边界的距离表示为b，那么我们就用这三个值表示出他们的关系：

$\vec{w}\cdot \vec{u_{x}}+b\geq 0$

KEY IDEA 2:我们假设这条street的宽度为1，那么仅针对训练集有： $\left\{\begin{matrix}\vec{w}\cdot \vec{u_{x}}+b\geqslant 1 \\ \vec{w}\cdot \vec{u_{x}}+b\leqslant-1 \end{matrix}\right.$ ，假设 $y_{i}=\left\{\begin{matrix} +1\\ -1 \end{matrix}\right.$ ，那么我们将两式相乘合并为一个公式，就可以得到第二个关键公式：

$y_{i}(\vec{w}\cdot \vec{x}_{traing}+b)-1\geqslant 0$

其中：取值为0的即为支持向量 $\vec{x}$ 。

KEY IDEA 3:那么我们如何使得这条street越宽越好呢?这条街的宽度可以表示为： $width=(\vec{x_{+}}-\vec{x_{-}})\cdot \frac{\vec{w}}{||\vec{w}||}$ ,分别将 $y_{i}$ 代入，可以得到： $\vec{x_{+}}\cdot \vec{w}=1-b$ ， $\vec{x_{-}}\cdot \vec{w}=-(1+b)$ ，得到：

$width=\frac{2}{||\vec{w}||}$

因此我们只需要求得 $max(width)$ ,即 $max\frac{2}{||\vec{w}||}$ ，即:

$min\frac{1}{2}||\vec{w}||^{2}$

s.t. $y_{i}(\vec{w}\cdot \vec{x}_{i}+b)-1= 0$

KEY IDEA 4:将其代入拉格朗日多项式得到：

$\L =\frac{1}{2}||\vec{w}||^{2}-\sum \alpha _{i}[y_{i}(\vec{w}\cdot \vec{x}_{i}+b)-1]$

分别对 $\vec{w}$ 和b求导得到：

$\partial L/\partial \vec{w} = \vec{w}-\sum \alpha _{i}y_{i}x_{i}$

$\partial L/\partial b = -\sum \alpha _{i}y_{i}$

分别令其等于0，求得：

$\vec{w}=\sum \alpha _{i}y_{i}x_{i}$ ， $\sum \alpha _{i}y_{i}=0$

代入原式：

$\L =\sum \alpha _{i}-\frac{1}{2}\sum \sum \alpha _{i}\alpha _{j}y_{i}y_{j}\vec{x}_{i}\vec{x}_{j}$

SVM另一种理解：假设一个函数叫做合页损失函数（hinge loss）：

合页损失的函数图像如下所示：

SMO算法（sequential minimal optimization）：

首先介绍坐标上升法：这个方法的思想是固定其他参数变量，先求其中一个变量的最大值。

SMO算法则是在坐标上升法之上改进一下，每次选择两个变量进行优化（两个变量其实等价于一个变量）：

算法流程：（具体流程参考李航的《统计学习方法》P126-130页）

核心代码：

def smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
    dataMatrix = mat(dataMatIn); labelMat = mat(classLabels).transpose()
    b = 0; m,n = shape(dataMatrix)
    alphas = mat(zeros((m,1)))
    iter = 0
    while (iter < maxIter):
        alphaPairsChanged = 0
        for i in range(m):
            fXi = float(multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[i,:].T)) + b
            Ei = fXi - float(labelMat[i])#if checks if an example violates KKT conditions
            if ((labelMat[i]*Ei < -toler) and (alphas[i] < C)) or ((labelMat[i]*Ei > toler) and (alphas[i] > 0)):
                j = selectJrand(i,m)
                fXj = float(multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[j,:].T)) + b
                Ej = fXj - float(labelMat[j])
                alphaIold = alphas[i].copy(); alphaJold = alphas[j].copy();
                if (labelMat[i] != labelMat[j]):
                    L = max(0, alphas[j] - alphas[i])
                    H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
                else:
                    L = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C)
                    H = min(C, alphas[j] + alphas[i])
                if L==H: print("L==H"); continue
                eta = 2.0 * dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
                if eta >= 0: print("eta>=0"); continue
                alphas[j] -= labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta
                alphas[j] = clipAlpha(alphas[j],H,L)
                if (abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): print("j not moving enough"); continue
                alphas[i] += labelMat[j]*labelMat[i]*(alphaJold - alphas[j])#update i by the same amount as j
                                                                        #the update is in the oppostie direction
                b1 = b - Ei- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T
                b2 = b - Ej- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
                if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]): b = b1
                elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]): b = b2
                else: b = (b1 + b2)/2.0
                alphaPairsChanged += 1
                print("iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
        if (alphaPairsChanged == 0): iter += 1
        else: iter = 0
        print("iteration number: %d" % iter)
    return b,alphas

软间隔分类器：当数据线性不可分时，即使映射到高维空间并不能保证线性可分，如下图所示：