【图(下)】拓扑排序

1、举例说明：计算机专业排课

说明：学C1，C2是不需要提前学别的课程的，学C3则需要提前学C1，C2。

把课程列表转换为图，其中顶点代表课程，则从V到W有一条边代表：V是W的预修课程

2、拓扑排序

• 拓扑序：如果图中从V到W有一条有向路径，则V一定排在W之前。满足此条件的顶点序列称为一个拓扑序
• 获得一个拓扑序的过程就是拓扑排序
• AOV如果有合理的拓扑序，则必定是有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）
  

3、算法

void TopSort()
{
	for (cnt = 0; cnt < |V| ; cnt++)
	{
		V = 未输出的入度为0的顶点;// O(|V|)
		if (这样的V不存在)//外循环没结束已经找不到入度为0的顶点了，有环
		{
			Error(“图中有回路”);
			break;
		}
		输出V，或者记录V的输出序号;
		for (V 的每个邻接点W)
			Indegree[W]––;//相当于去掉从V到W的边
	}
}

在TopSort函数中，如果外循环还没结束，就已经找不到“未输出的入度为0的顶点”，则说明图中必定存在回路。

时间复杂度：T = O( |V|² )

4、聪明的算法

随时将入度变为0的顶点放到一个容器里

void TopSort()
{
	for (图中每个顶点V)
		if (Indegree[V] == 0)
			Enqueue(V, Q);
	while (!IsEmpty(Q))
	{
		V = Dequeue(Q);
		输出V，或者记录V的输出序号; cnt++;//计数器增加
		for (V 的每个邻接点W)//将V放入容器，V发出的边断开，V的邻接点入度减1
			if (––Indegree[W] == 0)
				Enqueue(W, Q);
	}
	if (cnt != |V| )
		Error(“图中有回路”);
}

随时将入度为0的节点放入容器中，每次从容器中取出元素，保证都是入度为0。

时间复杂度：每个点被访问一遍，每条边访问一遍
T = O( |V| + |E| )

此算法可以用来检测有向图是否DAG（有向无环图Directed Acyclic Graph）

5、关键路径问题

• AOE (Activity On Edge) 网络
  一般用于安排项目的工序
  
  每条边代表一个工序或者一个活动
  边表示活动，顶点表示到达这个顶点时，活动结束了。

顶点的上面部分表示这项工作最早在什么时间完成，下面的表示这项工作最晚什么时间开始。


机动时间：不用那么赶工期，以顶点0到顶点2为例，最早第0天开始工作，最晚第六天完成，而完成这项工作只需要4天时间，就有2天的机动时间。
关键路径：由绝对不允许延误的活动组成的路径