凸函数的梯度的单调性 (Monotonicity of gradient)

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可微函数 $f$ 是凸函数 当且仅当 $domf$ 是凸集，且 $(\bigtriangledown f(x)-\bigtriangledown f(y))^T(x-y)>0, \;\; \forall x,y \in dom f$ 即 $\bigtriangledown f: \R^n \rightarrow \R^n$ 是单调映射（monotone mapping）。

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证明：

1. 如果 $f$ 是可微的凸函数，则有 $f(y) \geq f(x) + \bigtriangledown f(x)^T(y-x),\\ f(x) \geq f(y) + \bigtriangledown f(y)^T(x-y).$将上面两式相加得 $(\bigtriangledown f(x)-\bigtriangledown f(y))^T(x-y)>0$
2. 如果 $\bigtriangledown f$ 是单调的，定义函数 $g$ : $g(t) = f(x+t(y-x)), \;t \in [0,1]\\ g'(t) = \bigtriangledown f(x+t(y-x))^T(y-x)$则由 $g'(t)$ 的连续性以及 $g'(1)-g'(0) >0 \;且\; g'(0)-g'(0) = 0$得 $g'(t) -g'(0) \geq 0,\;\;$因此 $f(y) = g(1) = g(0) + \int_0^1 g'(t)dt \geq g(0) + g'(0) \\= f(x) + \bigtriangledown f(x))^T(y-x)$ 即 $f$ 为凸函数。