集合的划分

设S是一个具有n个元素的集合， $S＝｛a_1，a_2，……，a_n｝$ ，现将S划分成k个满足下列条件的子集合$S_1，S_2，……，S_k} ，且满足：

$S_i \ne \oslash$
所有的划分的交集为空： $|S_i \cap S_j=\oslash|,1\le i,j\le k,i\ne j$
并集为该集合本身： $S_1\cup S_2 \cup ...\cup S_k=S$

则称 $S_1，S_2，……，S_k$ 是集合S的一个划分。

排列与组合

【例】马路上有编号1,2,3…10的十盏路灯，为节约用电而又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有()种不同的关灯方法。

采用插隔板法，即8灯关3,余5灯亮,5灯之间6个空,插入3盏不亮灯
答案：C（6,3）

【例】村长带着 4 对父子参加爸爸去哪儿第三季第二站某村庄的拍摄。村里为了保护小孩不被拐走有个前年的规矩，那就是吃饭的时候小孩左右只能是其他小孩或者自己的父母。那么 4 对父子在圆桌上共有_种坐法。（旋转一下，每个人面对的方向变更后算是一种新的坐法）

思路：先选座位，在进行排列；
四个孩子一起坐：选4个连起来的座位，共有8种，孩子的排列是A（4,4），只有两个父亲（且是确定的）可以随便坐A（2,2），故8*A(4,4)*A(2,2)
两个孩子一起坐：选四个座位，且是相对的，共有4种，孩子的全排列A(4,4)，父亲的座位确定，故4*A(4,4)
一共有8*A(4,4)*A(2,2)+4*A(4,4)=480

【例】从数字集合{1,2,3,4,… ,20}中选出3个数字的子集，如果不允许两个相连的数字出现在同一集合中，那么能够形成多少个这种子集？

“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
C(18，1)=816

错排公式

【例】五个球从盒子里拿出来，打乱顺序放回去，均不在原位的排列数是多少（）

D(n) = (n-1) * ( D(n-1) + D(n-2) )，n>=3，D(1) = 0 , D(2) = 1
A的位置有4种选择（除了A之外的4个字母）
（1）B的位置被A占了：CDE三个位置因为要避免重复，所以只能有2种排列方式
（2）B的位置没有被A占：则B的位置有3种选择，C的位置有3种选择（因为A在这3个里面，A无论在CDE的哪个位置上，都没有问题，只要A的位置定了，另外两个的位置肯定也定了，因为它们只能交换位置），所以是 3*3种
最后总共是 4*( 2 + 3*3)

卡特兰数

【定理】n个“1”和n个“0”组成的2n位的二进制数，要求从左到右扫描，“1”的累计数不小于“0”的累计数，这样的二进制数的个数为著名的Calatan数 $\frac{C(2n,n)}{n+1 }$ ，（n>=0）
【证明】令An为n个“1”和n个“0”组成的符合二进制数的个数，n个“1”和n个“0”组成的二进制数可以看作是一种类型（1型）为n个元素和另一种类型（0型）的n个元素的两种不同元素的排列，这样的排列个数位C(2n,n) = (2n)!/(n!n!)，从C(2n,n)中减去不符合要求的个数即为所求的An，
考虑n个”1”和n个”0”组成的不符合要求的二进制数，不符合要求的数应为：从左到右扫描时，必然存在一个最小的k使得在这k位上首先出现”0”的累计数多于”1”的累计数，特别得，k是一个奇数，而在k之前的k-1位数中，有相等个数的”0”和”1”，而且这第k位上是”0”，现在把这前k位中每一位上的数进行交换，”1”换成”0”，”0”换成”1”，并且保持剩下的数不变，结果这样的二进制数是一个有n+1个”1”和n-1个”0”的二进制数，即一个不合要求的二进制数对应一个由n+1个”1”和n-1个”0”组成的一个排列，这个过程是可逆的：任何一个由n+1个”1”和n-1个”0”组成的2n位数，由于”1”的个数比”0”的个数多2个，2n是偶数，因此必在某个奇位数上出现”1”的累计数超过”0”的累计数，同样对他们进行交换，并使其余的不动，使之成为由n个”1”和n个”0”组成的2n位数，这时”0”的累计个数多于”1”的累计个数，是一个不符合要求的二进制数，从而不符合要求的二进制数与n+1个”1”和n-1”0”组成的排列一一对应，这样的排列个数为C(2n,n+1) = (2n)!/((n+1)!(n-1)!) 因此有An = C(2n,n)-C(2n,n+1)

杨氏矩阵

杨氏矩阵又叫杨氏图表，它是这样一个矩阵，满足条件：
(1)如果格子(i,j)没有元素，则它右边和上边的相邻格子也一定没有元素。
(2)如果格子(i,j)有元素 $a_{ij}$ ，则它右边和上边的相邻格子要么没有元素，要么有元素且比 $a_{ij}$ 大。

1 ~ n所组成杨氏矩阵的个数可以通过下面的递推式得到：
F(1)=1;F(2)=2;
F(n)=F(n-1)+(n-1)F(n-2) ，n>2

钩子公式

对于给定形状，不同的杨氏矩阵的个数为：n！除以每个格子的钩子长度加1的积。其中钩子长度定义为该格子右边的格子数和它上边的格子数之和。

【例】1-16十六个数字分别填入十六格方框内，要求从左至右的数字是从小到大排列，从上至下的数字也是从小到大排列，问：有多少种排列方式。

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利用杨氏矩阵的钩子公式
答案：16! / (4 x 3 x 2 x 1 x 5 x 4 x 3 x 2 x 6 x 5 x 4 x 3 x 7 x 6 x 5 x 4) = 24024

组合数学专项练习笔记