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一、堆树的定义
堆树的定义如下：
（1）堆树是一颗完全二叉树；
（2）堆树中某个节点的值总是不大于或不小于其孩子节点的值；
（3）堆树中每个节点的子树都是堆树。
当父节点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。 当父节点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。如下图所示，左边为最大堆，右边为最小堆。
二、堆树的操作
以最大堆为例进行讲解，最小堆同理。
原始数据为a[] = {4, 1, 3, 2, 16, 9, 10, 14, 8, 7}，采用顺序存储方式，对应的完全二叉树如下图所示：
（1）构造最大堆
在构造堆的基本思想就是：首先将每个叶子节点视为一个堆，再将每个叶子节点与其父节点一起构造成一个包含更多节点的对。
所以，在构造堆的时候，首先需要找到最后一个节点的父节点，从这个节点开始构造最大堆；直到该节点前面所有分支节点都处理完毕，这样最大堆就构造完毕了。
假设树的节点个数为n，以1为下标开始编号，直到n结束。对于节点i，其父节点为i/2；左孩子节点为i*2，右孩子节点为i*2+1。最后一个节点的下标为n，其父节点的下标为n/2。
如下图所示，最后一个节点为7，其父节点为16，从16这个节点开始构造最大堆；构造完毕之后，转移到下一个父节点2，直到所有父节点都构造完毕。
C++代码实现：
定义存放堆的结构如下：
strcut MaxHeap{ Etype *heap; int HeapSize; int MaxSize;};MaxHeap H;
其中，heap是数据元素存放的空间，下标从1开始存数数据，下标为0的作为工作空间，存储临时数据。HeapSize是数据元素的个数，MaxSize是存放数据元素空间的大小。
初始化堆方法如下：
void MaxHeapInit (MaxHeap &H){ for(int i = H.HeapSize/2; i>=1; i--) { H.heap[0] = H.heap[i]; int son = i*2; while(son <= H.HeapSize) { if(son < H.HeapSize && H.heap[son] < H.heap[son+1]) son++; if(H.heap[0] >= H.heap[son]) break; else { H.heap[son/2] = H.heap[son]; son *= 2; } } H.heap[son/2] = H.heap[0]; }}
（2）最大堆中插入节点
最大堆的插入节点的思想就是先在堆的最后添加一个节点，然后沿着堆树上升。跟最大堆的初始化过程大致相同。
C++代码实现：
void MaxHeapInsert (MaxHeap &H, EType &x){ if(H.HeapSize == H.MaxSize) return false; int i = ++H.HeapSize; while(i!=1 && x>H.heap[i/2]) { H.heap[i] = H.heap[i/2]; i = i/2; } H.heap[i] = x; return true;}
（3）最大堆中堆顶节点的删除
最大堆堆顶节点删除思想如下：将堆树的最后的节点提到根结点，然后删除最大值，然后再把新的根节点放到合适的位置。
C++代码实现：
void MaxHeapDelete (MaxHeap &H, EType &x){ if(H.HeapSize == 0) return false; x = H.heap[1]; H.heap[0] = H.heap[H.HeapSize--]; int i = 1, son = i*2; while(son <= H.HeapSize) { if(son <= H.HeapSize && H.heap[0] < H.heap[son+1]) son++; if(H.heap[0] >= H.heap[son]) break; H.heap[i] = H.heap[son]; i = son; son = son*2; } H.heap[i] = H.heap[0]; return true;}
三、堆树的应用
利用最大堆、最小堆进行排序。
堆排序算法详解：http://blog.csdn.net/guoweimelon/article/details/50904231
参考文献：
1、彻底弄懂最大堆的四种操作(图解+程序)（JAVA） http://128kj.iteye.com/blog/1728555
2、最大堆、最小堆 http://blog.csdn.net/genios/article/details/8157031
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