本文将继续探讨，坐标旋转变换，不同之处，上两篇各用三次，两次旋转变换，这一篇要用一次旋转变换。
如下图：
如图，还是任意的平面方程，o2-xy面，在该平面上，如棕色和草绿色箭头所示，我们的目标是，经过一次选择，达到我们的o2-x‘’y‘’z‘’与o2-xyz重合的目的（也就是，棕色轴与红色轴重合，草绿色与绿色轴重合，淡蓝色与蓝色轴重合）。我们以o2为球心做半径为1的球，知道z轴与z‘’轴都会与球相交，并且分别的正向中轴射线也会交与球面。它们分别的在球面上的射影是两段弧线，它们之间有一个夹角，如图中黄色小球就是他们的交点，以及他们夹角θ1的原点。
青色的线就是这个角原点与o2点的连线，我们容易知道，该青色的线与该夹角垂直。我们再作，过o2点与两条正向中轴射线的垂线，就是我们图中的第二条青色的线。我们也知道，该青线，与刚才的青线是相互垂直的。并且，第二条青线与两正向中轴射线夹角θ2是垂直的，好。到这里，我们想办法，将两条青线的旋转合并为一个等效的任意轴的旋转，这样我们就达到了，一次旋转重合坐标轴的目的。
作为准备，我们要得出这个等效轴的位置，与夹角θ。
我们把第一条暂时设为“x”轴，第二条设为“y”轴，当然这个是为了讨论准备的公式方便，设什么字母是无所谓的。我们都是讨论右手坐标系。
假设我们绕“x”轴旋转θ1，绕“y”轴旋转θ2，由上两篇的备用公式：如下
进而得到：
我们假设有一个任意轴旋转效果与上面两次旋转效果相同，假设这个任意轴，位于“x”，“y”所在的右手空间坐标系内，
有
由于刚才的假设两种选择效果一样，则
有：
化简得到：
所以我们可以知道这个等效轴的位置，与夹角，而上面已经几何做出了”x“，”y“的青线，加上右手坐标系的限制，我们可以确定该轴的位置与需要旋转的夹角。
由于
所以
为该轴与“x”（第一条青线）夹角余弦，
为该轴与“y”（第二条青线）夹角余弦，以此类推。
以上说的正向中轴射线，指的是与坐标轴夹角余弦都为
的那条射线。
到这里，关于平面方程与坐标旋转的故事讲完了。谢谢大家的陪伴。