本文参考整理了Coursera上由NTU的林轩田讲授的《机器学习技法》课程的第二章的内容，主要介绍了Hard Margin SVM Dual的基本概念和求解方法、支撑向量的几何含义等，文中的图片都是截取自在线课程的讲义。
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对偶问题的动机
原来的SVM如果要进行非线性变换，需要在转换后的Z空间(假设为d~维度)内进行linear SVM的求解，则在Z空间里的线性分类对应到原来的X空间可能就是一个non-linear的复杂边界。
问题：Z空间的QP问题有d+1个变量、N个约束。如果d非常大甚至无穷大，就很难甚至不可能求解。
目标：让SVM模型的求解不再依赖转换后的空间维度d~，以能够使用非常多的、非常复杂的特征转换。
将original问题转换为dual(对偶)问题，该问题与原问题等价即可。
基本工具: Lagrange Multipliers
将Lagrange Multipliers当做变量求解，SVM中的每一个条件都会对应一个Lagrange Multiplier，所以共有N个变量。
注意:在SVM的文献中通常把Lagrange Multipliers的λ叫做α。
出发点
将有约束优化问题转换为无约束的优化问题。
原始问题：
定义Lagrange Function:
则原始问题等价于
如何证明两个问题的解一样？
考虑两种情况：
- 如果某个(b,W)不满足原始问题的N个条件之一，即某个1-yn(W’Zn+b)＞0，则内部的Max操作会将αn推向无穷大，在min操作中会被淘汰。
- 如果某个(b,W)满足原始问题的所有约束，则内部Max将所有的αi都推向0，即内部的max结果就是目标的1/2W’W的值，在外部的min操作中就会取得满足条件的(b,W)中目标函数最小的组合，和原始问题一样。
现在我们有了新的问题，它有哪些性质呢？
对于任何确定的α'【满足每一个元素α'n>=0】，则有
因为对于某一个(b,W)，内部的max(L)始终大于等于L，则左边的最低点也一定大于等于右边的最低点。
简单地说，因为max>=any。
因为对于任何α'都有上式成立，所以
因为最大的是任意的α'中的某一个。
观察发现，只不过是把min和max操作交换了顺序，称该问题为Lagrange对偶问题。
只要我们解决了Lagrange Dual Problem，就得到了original problem的一个下限。
对偶性的强弱
- '>='：弱对偶性(weak duality)
- '=': 强对偶性(strong duality)
由最优化理论可得：
对于QP问题，如果满足：
- 原始问题是凸型的 convex primal
- 原始问题是有解的(如果Φ转换后数据点是线性可分的，则成立) feasible primal
- 线性约束条件
称为 '条件资格' (constraint qualification)。
则对偶问题是强对偶问题，即存在原始-对偶最优解(b,W,α)在两侧都能最优。
化简对偶问题
inner problem：里面的问题，即min操作，是没有条件约束的，因此在最优点上，满足：
因此，加上该条件的最优解不变。
加上该条件，可以把变量b消去。
同理，对W进行类似的处理：
把最优解的条件加在对偶问题上：
求解b和W
现在最佳化问题只有变量α了，其他变量b和W根据和α的关系被α所表示。
求得α后，再根据这些关系求出b和W。
这些关系，我们一般叫做KKT最优条件(KKT Optimality Conditions)
KKT是三个做最优化的研究者的名字首字母(Karush-Kuhn-Tucker)。
如果原始-对偶最优解(b,W,α)：
其中第4个条件，一般称为互补松弛条件(complementary slackness)
以上的推导说明KKT条件是最优解的必要条件[necessary]，但也可以证明对于我们的问题来说，它也是充分的[sufficient]。
因此我们可以利用KKT条件根据最优的α来求解(b,W)。
Standard Hard-Margin SVM dual
再做一些微小的改写：
该问题称为“标准硬边界SVM的对偶问题”。
该问题仍然是一个QP凸问题，有N个变量(α1..N)，N+1个条件(一个=0，N个>=0)。
仍然使用QP Solver求解。
QP系数
注意：很多QP程序可以很方便的直接特殊处理等式(A>=、A<=)或者边界类条件(an>=0)，这样可以保证它们的数值稳定性
Q矩阵中的元素q(n,m)一般非0，是稠密矩阵(dense)，且N大时，Q矩阵很大。
因此需要特殊的求解QP的程序(专门为SVM设计的)，不存储整个Q矩阵，或者利用SVM的一些特殊条件来加速求解。
因此在实践中，我们通常最好使用特别为SVM设计的QP求解算法。
获得b和W
利用KKT条件：
得到W:
得到b:
和b有关的约束
只能告诉我们一个b的范围
如果某个αn>0 ==> (1 - yn(W’Zn + b)) = 0
两边都乘上yn，得
(yn - (W’Zn + b)) = 0
即
b = yn - W’Zn
上式告诉我们 yn(W’Zn + b) = 1，说明该点在胖胖的边界上，即是一个支撑向量(Support Vector)。
支撑向量的确切定义
我们把αn>0的点(Zn,yn)叫做support vectors，即支撑向量。
它一定在胖胖的边界上，但不是所有在胖胖的边界上的点都是SV，它们都是support vectors candidate。
即
SV的性质
计算W和b时，只需要用到支撑向量SV的点。
所以SVM是一种利用求解对偶问题的最优解，找出支撑向量来学习出最胖的分隔超平面的过程。
最胖分隔超平面的表示形式
即W是ynZn的线性组合。
这对于当W0=0时，使用GD/SGD的LogReg或者LinReg也成立。
称作 W 能够被 数据点 所表示(represented)。
SVM: 只需要SV就可以线性表示出W。
PLA: 只需要犯错的点就可以线性表示W。
Hard-Margin SVM的两种形式
两者最终都是得到最优的假设函数：
我们真的做到脱离d~了吗？
其实没有，计算Q矩阵时，每个q(n,m)都需要计算Zn'Zm，这是一个在R(d)空间中的两个向量的内积，需要时间至少为O(d)。
因此我们要想办法避开计算转换后的高维空间中向量的内积。
这部分内容需要利用kernel function的威力，我们在下一讲进行探讨。