5928. 【NOIP2018模拟10.26】苹果

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题目

对区间 $[1,2^n]$建线段树。线段树中每个区间都有它自己的深度。
众所周知， 一个区间 $[L,R]$可以拆成log个区间。
问 $S(L,R)$的期望。
对于一个区间 $[L,R]$， $S(L,R)$表示 $log$个区间中包含L的那个区间的深度+ $log$个区间中包含R的那个区间的深度。如果只有1个区间，那么那个区间的深度算2次。

正解

40分：式子很容易就写出来了。
$Ans=\frac{1}{C_{2^n}^2}\sum_{i=1}^n dep[i]*(size[i\ xor\ 1])+[dep[i]*(2^n-R[i]+1)]*[i为奇数]+[dep[i]*(size[i\ xor\ 1])+dep[i]*L[i]]*[i为偶数]$
100分：找规律。或者优化40分的式子。
找规律：对于所有的 $[L,R]$数出每个区间遍历的次数。
可以得出结论：深度为i的区间总共被遍历了 $2^{i-1}(2^n+2)$次。
所以 $Ans=\sum_{i=1}^n i*2^{i-1}(2^n+2)=\sum_{i=1}^n i*2^i(2^{n-1}+1)$
一个等差比数列。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define mo 1000000007
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
LL ans,w,w1;
LL m1,m2,m3,n;
LL calc(LL x){return (x*(x+1)%mo)*500000004%mo;}
LL ksm(LL x,LL y){
	LL rs=1;
	for(;y;y>>=1,x=(x*x)%mo)if(y&1)rs=(rs*x)%mo;
	return rs;
}
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	m1=ksm(2,n-1);
	m2=m1*2%mo;
	m3=m2*2%mo;
	ans=(ans+(n%mo)*m3%mo-2+mo)%mo;
	w1=(4*(m1-1))%mo;
	ans=(ans-w1+mo)%mo;
	w1=(m1+1)%mo;
	ans=(ans*w1)%mo;
	w=calc(m2);
	ans=(ans*ksm(w,mo-2))%mo;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}