测量平差之附有限制条件的条件平差（概括平差模型）

版权声明：转载本博客原创文章，请标明出处并附上链接。 https://blog.csdn.net/fourierFeng/article/details/76862227

接下来要写的可看成是对前面讲过的四种经典平差方法的概括模型。
从四种基本平差算法的函数模型来看，主要包括如下两种类型的条件方程：

$$\left\{\begin{matrix} F(\hat{L},\hat{X})=0\\ \phi (\hat{X})=0 \end{matrix}\right.$$
第一种方程中同时含有观测值和未知参数，称为一般条件方程；第二种方程则只含有未知参数而无观测值，称为限制条件方程。
一般而言，对于任何一个平差问题，设想观测值个数为 $n$，必要观测数为 $t$,则多余观测数 $r=n+t$。若增选了 $u$个参数，不论 $u<t,u=t$或 $u>t$,也不论参数是否独立，每增加一个参数则相应的多产生一个方程，故总共应列出 $r+u$个方程。如果在 $u$个参数中有 $s$个是不独立的，或者说，在这 $u$个参数之间存在着 $s$个函数关系式，则应列出 $s$个限制条件方程，此外，还应列出 $c-r+u-s$个一般条件方程，如此就形成了如下的函数模型： $$\begin{matrix} \underset{c\,1 }{F}(\hat{L},\hat{X})=0\\ \underset{s\, 1}{\phi}(\hat{X})=0 \end{matrix}$$ 这就是附有限制条件的条件平差函数模型。其线性形式可概括如下： $$\begin{matrix} \underset{c\,n }{A}\underset{n\,1 }{V}+\underset{c\,u }{B}\underset{u\,1}{\hat{x}}+\underset{c\,1}{W}=0\\ \underset{s\,u}{C}\underset{u\,1}{\hat{x}}+\underset{s\,1}{W_{x}}=0 \end{matrix}$$ 式中 $$W=F(L,X^{0}),W_{x}=\phi(X^{0})$$ 其中， $X^{0}$是未知参数的初始值，一般选择在收敛值的某个开邻域 $U$里，使得 $U$必须和3维欧式空间 $R^{3}$中的一个开子集是同胚的。
且 $c=r+u-s,c>r,s<u$，系数矩阵的秩分别为 $$R(A)=c,R(B)=u,R(C)=s$$ 随机模型为 $$\underset{n\, n}{D}=\sigma _{0}^{2} \underset{n\, n}{Q}=\sigma _{0}^{2} \underset{n\, n}{P}^{-1}$$ 在大多数情况下，参数之间是等价的，不需要加权，这时候 $P$是单位矩阵。
上面提到过，该模型是四种平差模型的综合：

1. 系数阵中的$B=0,C=0$时，它就变成了条件平差法的函数模型。
2. 系数阵中的$C=0$，它就变成了附有参数的条件平差的函数模型。
3. 系数阵中的$A=-I$和$C=0$时，它就变成了间接平差法的函数模型。
4. 系数阵中的$A=-I$时，就变成了附有限制条件的间接平差法的函数模型。

由此，也称之为“概括平差模型”。
回到正题来简化数学模型，上面的线性模型用拉格朗日乘子进行复合，组成函数如下：

$$\phi=V^{T}PV-2K^{T}(AV+B\hat{x}+W)-2K_{s}^{T}(C\hat{x}+W_{x})$$
注意，这里有两个拉格朗日乘子，对于拉格朗日乘子，可参看我的另外一篇文章： 拉格朗日乘子法的由来。
由凸优化理论，要计算该极值，需对 $V$， $\hat{x}$， $K$， $K_{s}$分别取极值，即是求偏导并令其为零，得 $$\begin{matrix} \frac{\partial \Phi }{\partial V}=2V^{T}P-2K^{T}A=0\\ \frac{\partial \Phi }{\partial \hat{x}}=-2K^{T}B-2K_{s}^{T}C=0\\ AV+B\hat{x}+W=0\\ C\hat{x}+W_{x}=0 \end{matrix}$$
上面四式包含 $n$个改正数， $u$个参数， $c$个对应于一般条件方程的联系数以及 $s$个对应于限制条件方程的联系数，而方程个数为 $c+s+n+u$，即方程个数等于未知数个数，故有唯一解。以上四式成为附有限制条件的条件平差法的基础方程。
解此基础方程，令 $$N_{AA}=AQA^{T}$$ 得
$$\begin{matrix} N_{AA}K+B\hat{x}+W=0\\ B^{T}K+C^{T}K_{s}=0\\ C\hat{x}+W_{x}=0 \end{matrix}$$
以上三式称为附有限制条件的条件平差的法方程。
由法方程得 $$\begin{matrix} K=-N_{AA}^{-1}(W+B\hat{x})\\ \\ B^{T}N_{AA}^{-1}B\hat{x}-C^{T}K+B^{T}N_{AA}^{-1}W=0 \end{matrix}$$ 若令 $$N_{BB}=B^{T}N_{AA}^{-1}B,W_{e}=B^{T}N_{AA}^{-1}W$$ 可进一步化简得
$$N_{BB}\hat{x}-C^{T}K_{s}+W_{e}=0$$ 解出 $\hat{x}$，得 $$\hat{x}=N_{BB}^{-1}(C^{T}K_{s}-W_{e})$$ 将上式代入 $C\hat{x}+W_{x}=0$，得 $$N_{CC}K_{s}-CN_{BB}^{-1}W_{e}+W_{x}=0$$
其中 $N_{CC}=CN_{BB}^{-1}C^{T}$。解出 $K_{s}$得 $$K_{s}=-N_{CC}^{-1}(W_{x}-CN_{BB}^{-1}W_{e})$$ 经整理即得： $$\hat{x}=-(N_{BB}^{-1}-N_{BB}^{-1}C^{T}N_{CC}^{-1}CN_{BB}^{-1})W_{e}-N_{BB}^{-1}C^{T}N_{CC}^{-1}W_{x}$$
下面是具体的代码实现，其中基本的矩阵运算没有在下面给出，在 矩阵算法相关代码，如有需要可以下载。

// <summary>   
/// 附有限制条件的条件平差
/// </summary>     
/// <param name="correction">返回的改正数</param> 
/// <param name="MatrixA"></param>
/// <param name="MatrixB"></param>
/// <param name="MatrixC"></param>
/// <param name="W"></param>
/// <param name="Wx"></param>
/// <param name="C"></param>
/// <param name="N"></param>
/// <param name="U"></param>
/// <param name="S"></param>
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
template<class T>
void GetConditionCorrectionWithCondition(T correction[],const T matrixA[],const T matrixB[],const T matrixC[],const T W[],const T Wx[],int C,int N,int U,int S)
{
    T *transposedA=new T[N*C];
    T *transposedB=new T[U*C];
    T *transposedC=new T[U*S];
    T *Naa=new T[C*C];
    T *inverseForNaa=new T[C*C];
    T *Nbb=new T[U*U];
    T *inverseForNbb=new T[U*U];
    T *Ncc=new T[S*S];
    T *inverseForNcc=new T[S*S];
    T *We=new T[U];
    T *x=new T[U];
    MatrixTranspose(matrixA,transposedA,C,N);
    MultMatrix(matrixA,transposedA,Naa,C,N,C);
    MatrixAnti(Naa,inverseForNaa,C);
    MatrixTranspose(matrixB,transposedB,C,U);
    T *transit1=new T[U*C];
    MultMatrix(transposedB,inverseForNaa,transit1,U,C,C);
    MultMatrix(transit1,matrixB,Nbb,U,C,U);
    MatrixAnti(Nbb,inverseForNbb,U);

    T *transit2=new T[U*C];
    MultMatrix(transposedB,inverseForNaa,transit2,U,C,C);
    MultMatrix(transit2,W,We,U,C,1);

    T *transit3=new T[S*U];
    MultMatrix(matrixC,inverseForNbb,transit3,S,U,U);
    MatrixTranspose(matrixC,transposedC,S,U);
    MultMatrix(transit3,transposedC,Ncc,S,U,S);
    MatrixAnti(Ncc,inverseForNcc,S);


    T *transit4=new T[U*S];
    MultMatrix(inverseForNbb,transposedC,transit4,U,U,S);
    T *transit5=new T[U*S];
    MultMatrix(transit4,inverseForNcc,transit5,U,S,S);

    T *transit6=new T[U*U];
    MultMatrix(transit5,matrixC,transit6,U,S,U);
    T *transit7=new T[U*U];
    MultMatrix(transit6,inverseForNbb,transit7,U,U);
    MatrixMinus(inverseForNbb,transit7,transit7,U,U);
    T *transit8=new T[U];
    MultMatrix(transit7,We,transit8,U,U,1);

    T *transit9=new T[U];
    MultMatrix(transit5,Wx,transit9,U,S,1);

    MatrixMinus(transit9,transit9,correction,U,1);
    MatrixMinus(correction,transit8,correction,U,1);
    MatrixMinus(correction,transit9,correction,U,1);


    delete [] transposedA;
    delete [] transposedB;
    delete [] transposedC;
    delete [] Naa;
    delete [] inverseForNaa;
    delete [] Nbb;
    delete [] inverseForNbb;
    delete [] Ncc;
    delete [] inverseForNcc;
    delete [] We;
    delete [] x;
    delete [] transit1;
    delete [] transit2;
    delete [] transit3;
    delete [] transit4;
    delete [] transit5;
    delete [] transit6;
    delete [] transit7;
    delete [] transit8;
    delete [] transit9;
}

下面进行精度评定，附有限制条件的条件平差的单位权方差估值也是$V^{T}PV$除以它的自由度，即

$$\hat{\sigma }_{0}^{2}=\frac{V^{T}PV}{r}=\frac{V^{T}PV}{c-u+s}$$
另外，应用协因数传播率，可得 $$Q_{\hat{x}\hat{x}}=N_{BB}^{-1}-N_{BB}^{-1}C^{T}N_{CC}^{-1}CN_{BB}^{-1}$$ 则平差值函数的中误差很容易得到，在这里不想写的太详细了，前面几篇文章详细讨论过。

参考资料：
[1] 误差理论与测量平差基础 武汉大学测绘学院测量平差学科组编著
[2] 变分学讲义 张恭庆著

转载请注明出处：http://blog.csdn.net/fourierFeng/article/details/76862227