一、预备知识
1、误差
1 误差来源
观测值中不可避免的包含误差，观测条件（人、器、环）决定了观测值的质量。
- 测量仪器（instrument）：仪器的精度、仪器自身的误差
- 观测者（observer）：感觉器官鉴别能力、技术熟练程度、工作态度
- 外界环境（outside condition）：气压、湿度、风力、日光照射、大气折光
2 误差种类
误差分为粗差、系统误差、随机误差
- 粗差（gross error ，又叫错误）：是指大于限差的误差，指由于观测者的粗心或者其他干扰因素造成的大误差，即错误。
处理方法：进行多余观测，利用粗差探测识别粗差，通过数据处理消除其影响。 - 系统误差（systematic error ，规律性误差）：在相同观测条件下作一系列的观测，如果误差有一定的规律，这类误差称为系统误差。
处理方法：建立函数模型（半参数模型、附加系统参数的平差模型）、采用相应的观测手段 - 偶然误差（random error， 随机性误差）：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差来看，该列误差的大小和符号没有规律性；但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律。
处理方法：多余观测 平差方法 最佳估值
偶然误差的统计特性：
- 误差绝对值的有限性
- 绝对值小的误差比大误差出现的概率大
- 绝对值相等的正负误差出现的概率相等
- 偶然误差理论均值为0
2、随机变量
概念：就单个误差而言，其数值的符号的大小均是偶然的、随机的、无规律的，但就大量的偶然误差而言，则又具有一定的规律性，故称统计规律性，在数理统计学中，将具有上述特征的变量称为随机变量。
1 数字特征
- 数学期望：(Mathematical expectation) 反应随机变量集中位置的数字特征
- 方差：(variance) 反映随机变量偏离集中位置的离散程度 - 协方差&相关系数：(covariance & correlation coefficient) 反映两随机变量x、y相关程度的数字特征
E(x)=∑xi pi
E(C)=C
E(CX)=CE(X)
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
E(XY)=E(X)E(Y)
-------------------
D(x)=E{
[x-E(x)]²}
D(C)=0
D(CX)=C²D(X)
D(X)=E(X²)-E²(X)
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
-------------------
Dxy=E{
[x-E(x)]*[y-E(y)]}
ρxy=Dxy/DxDy
2 衡量精度的指标
| 名称 | 英文 | 计算方法 |
|---|---|---|
| 方差和中误差 | variance and mean square error | σ² & σ |
| 平均误差 | average error | θ=sqrt(2/π)σ (0.7979σ) |
| 或然误差 | probable error | ρ≈⅔ σ (0.6745σ) |
| 极限误差 | limit error | Δ=3σ |
Δ > σ > θ > ρ
3 衡量观测质量的指标
| 名称 | 含义 | 计算方法 |
|---|---|---|
| 精密度 | precision 描述偶然误差，即观测值与数学期望的偏离程度；用方差或中误差表示 | σ² & σ |
| 准确度 | accuracy 描述系统误差，可用观测值的真值与观测值的数学期望之差来描述 | ε=Ã-E(A) |
| 精确度 | 描述偶然误差、系统误差的联合影响，精确度可用观测值的均方误差来描述 | MSE(A)=E[(A-Ã)²]=σ²+(E(A)-Ã)²=σ²+ε² |
如上图：
图1 表示射击的精密度高，好比测量数据精密度高，但准确度较差；
图2 表示射击的准确度高，好比测量数据的准确度高，但精密度差；
图3 表示精密度和准确度均较好，好比测量数据的精密度和准确度都好，即精确度高。
二、平差种类
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