如何理解间接平差

对于线性回归问题，我们说明了利用梯度下降和正规方程进行处理的原理，其中最重要的就是最小二乘的原理，而在测绘科学中，测量平差的法方程就对应着线性回归的正规方程。平差利用最小二乘，却也有自己的不同，下面我们通过一道水准网间接平差例题来理解间接平差，间接平差就是在一个平差问题中，独立参数个数等于必要观测数 $t$时，将每个观测值表达成这t个参数的函数，组成观测方程的平差方法

如题

如果没有学过平差，我们很容易从图中看出， $h_{P1}=h_A+h_1$， $h_{P2}=h_C+h_3$，那不就太简单了嘛， $P_1$就等于 $12.003$m， $P_2$就等于 $12.511$m。真这么简单就好了，由于观测的误差，答案肯定是接近于此但是不为此，我们可以看到根据图形和观测值，得到三个‘正确’的公式： $h_{P1}=h_A+h_1=12.003$m， $h_{P1}=h_B+h_4=12.005$m， $h_{P1}=h_C+h_3-h_2=12.010$m。同一个 $P_1$的高度通过三个方向计算却不同，如何确定 $P_1$最‘正确’的高度，这就需要平差来解决了。不过至少我们能得到这样一个答案，这里至少需要两次观测才能求出 $P_1$和 $P_2$，即要测得 $h_3$和 $h_1$或者 $h_3$和 $h_4$。那我们就可以得到这道题的必要观测数 $t=2$。我们设 $P_1$和 $P_2$的真实高度为 $\hat{X_1}$和 $\hat{X_2}$，前面我们也算得了P1和P2的近似高度，我们就设近似高度为 $X_1$和 $X_2$。下面我们设每一条边的改正数设为 $v$，观测值为 $L$，真实值 $\hat{L}=L+v$，而对于线性表达式， $\hat{L}=B\hat{h}+d（y=ax+b）$。这里我们就可以得到 $L+v=B\hat{X}+d$，结合 $\hat{X}=X+\hat{x}$和 $l=\hat{L}-L=L-(BX+d)$我们就可以得到误差方程

$\begin{aligned} L + v &= B\hat{X} + d\\ BX + d + l + v& = BX + B\hat{x} + d\\ v &= B\hat{x} - (\hat{L} - L) \\ v &= B\hat{x} - l \end{aligned}$
现在我们列出误差方程

$\begin{aligned} &v_1 = \hat{x_1} - (h_1 - (X_1 - h_A))\\ &v_2 = -\hat{x_1} + \hat{x_2} - (h_2 - (X_2 - X_1))\\ &v_3 = \hat{x_2} - (h_3 - (X_2 - h_C))\\ &v_4 = \hat{x_1} - (h_4 - (X_1 - h_B)) \end{aligned}$

把数字带进去，化简，就得到如下的式子（这里的l的单位是毫米）

$\begin{aligned} &v_1 = \hat{x_1} - 0\\ &v_2 = -\hat{x_1} + \hat{x_2} - (-7)\\ &v_3 = \hat{x_2} - 0\\ &v_4 = \hat{x_1} - 2\\ \end{aligned}$

对比 $v = B\hat{x} - l$的形式，我们可以写出 $B$和 $l$矩阵，根据题目的边长的长度，我们以最长的 $2$km为单位权，就可以列出权重的矩阵 $P$

$B= \left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ -1 & 1\\ 0 & 1\\ 1& 0 \end{matrix} \right] l= \left[ \begin{matrix} 0\\ -7\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right] P= \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right]$

平差中的准则是要是 $V^TPV=min$（也就是 $[vv]=∑v^2$要最小），这是进行最小二乘平差计算的一个基本原则，是求解不定线性方程组的一个附加条件。当VTPV越小，平差的效果越好。其中我们也得到了 $v = B\hat{x} - l$。现在就可以按列正规方程的方法（ $V^TPV$关于 $\hat{x}$求导，当导数为零时， $V^TPV$最小），求得 $\hat{x}=(B^TPB)^{-1}B^TPl$，下面是推导

$\begin{aligned} d(V^TPV) / d(\hat{x})& = 0\\ 2V^TP(d(V) / d(\hat{x}))& = 0 \\ 2V^TP(d(B\hat{x} - l) / d(\hat{x}))& = 0\\ V^TPB& = 0\\ B^TPV& = 0\\ B^TP(B\hat{x} - l)& = 0 \\ B^TPB\hat{x} - B^TPl& = 0\\ \hat{x}& = (B^TPB)^{-1}B^TPl \end{aligned}$
现在就可以很方便地计算了，我们用python-numpy计算一下

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import numpy as np

B = np.array([[1,0],[-1,1],[0,1],[1,0]])
l = np.array([[0],[-7],[0],[2]])
P = np.array([[2,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,2]])
print(B.shape)
print(l.shape)
print(P.shape)

输出 $B$、 $l$和 $P$矩阵的维度

(4, 2)
(4, 1)
(4, 4)

现在计算，在python-numpy中，np.dot()是矩阵相乘，np.linalg.inv()是求逆矩阵，现在输出看看

x_h = np.zeros((2,1))

x_h = np.dot(np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(np.dot(B.T,P),B)),B.T),P),l)
print(x_h)

结果是这样的，这里的单位是毫米（mm）

[[ 1.66666667]
 [-2.66666667]]

所以P1和P2点的高程平差值应该为 $\hat{X}=X+\hat{x}$，即 $P_1$的高为 $12.0047$m和 $P_2$的高为 $12.5083$m。这个时候吧 $\hat{x}$代回去也可以得到所有的 $v$的值，就可以求出所有观测量的平差值。我们可以算一下此时的所有观测量的平差值

$\begin{aligned} &\hat{h_1} = h_1 + \hat{x_1} - 0 = 1.0047\\ &\hat{h_2} = h_2 + -\hat{x_1} + \hat{x_2} - (-7) = 0.5037\\ &\hat{h_3} = h_3 + \hat{x_2} - 0 = 0.5003\\ &\hat{h_4} = h_4 + \hat{x_1} - 2 = 0.5047 \end{aligned}$

这里我们再算一下 $h_{P1}$，就发现三个方向算的答案都基本可以对的上了
$h_{P1}=h_A+\hat{h_1}=12.0047$m， $h_{P1}=h_B+\hat{h_4}=12.0047$m， $h_{P1}=h_C+\hat{h_3 }-\hat{h_2}=12.0046$m
结果里面有省略一些地小数，所以没有完全的相等