测量平差之间接平差

今年3月份的时候我在公司写一个算法接触到测量平差理论，感慨于它的算法的优美，利用最小二乘而又独成体系，在测量拟合中发挥着巨大的作用。但网上关于它的描述甚少，更不用说好的实现代码，我将写两篇文章来说一下间接平差和附加限制条件的间接平差，这一篇先说间接平差。
在测量拟合中，由于观测结果不可避免地存在着误差，因此，如何处理带有误差的观测值，找出待求量的最佳估值，是最小二乘平差所研究的内容。在一个平差问题中，当所选的独立参数 $\hat{X}$ 的个数等于必要观测数 $t$ 时，可将每个观测值表达成这 $t$ 个参数的函数，组成观测方程，这种以观测方程为函数模型的平差方法，就是间接平差。用数学语言描述就是：通过在映射 $B$ 的像上的平差间接地反映原像上的平差过程的算法。
一般而言，如果某平差问题有 $n$ 个观测值， $t$ 个必要观测值，选择 $t$ 个独立量作为平差参数 $\underset{t1}{\hat{X}}$ ，则每个观测值必定可以表达成这 $t$ 个参数的函数，即有：

\underset{n 1}{\hat{L}} = F (\hat{X})

$\underset{n1}{\hat{L}}=F\left ( \hat{X} \right )$ 如果表达式是线性的，一般为：

\underset{n 1}{\hat{L}} = \underset{n t}{B} \underset{t 1}{\hat{X}} + \underset{n 1}{d}

$\underset{n1}{\hat{L}}=\underset{nt}{B}\underset{t1}{\hat{X}}+\underset{n1}{d}$ 其中自由度是：

r = n - t

$r=n-t$ 。
平差时，一般对参数

\hat{X}

$\hat{X}$ 都要取近似值

X^{0}

$X^{0}$ ,令

\hat{X} = X^{0} + \hat{x}

$\hat{X}=X^{0}+\hat{x}$ 代入上式，并令

l = L - (B X^{0} + d) = L - L^{0}

$l=L- \left ( BX^{0}+d \right ) =L-L^{0}$

L^{0} = B X^{^{0}} + d

$L^{0}=BX^{^{0}}+d$ 为观测值的近似值，所以

l

$l$ 是观测值与其近似值之差，由此可得误差方程

V = B \hat{x} - l

$V=B\hat{x}-l$ 平差准则为

V^{T} P V = m i n

$V^{T}PV=min$ 以上是基本原理，下面就逐步推到得到平差公式。
设有

n

$n$ 个观测值方程为：

\begin{matrix} L_{1} + v_{1} = a_{1} \hat{X_{1}} + b_{1} \hat{X_{2}} + \dots + t_{1} \hat{X_{t}} + d_{1} \\ L_{2} + v_{2} = a_{2} \hat{X_{1}} + b_{2} \hat{X_{2}} + \dots + t_{2} \hat{X_{t}} + d_{2} \\ \dots \\ L_{n} + v_{n} = a_{n} \hat{X_{1}} + b_{n} \hat{X_{2}} + \dots + t_{n} \hat{X_{t}} + d_{n} \end{matrix}

$\begin{matrix} L_{1}+v_{1}=a_{1}\hat{X_{1}}+b_{1}\hat{X_{2}}+\cdots +t_{1}\hat{X_{t}}+d_{1}\\ L_{2}+v_{2}=a_{2}\hat{X_{1}}+b_{2}\hat{X_{2}}+\cdots +t_{2}\hat{X_{t}}+d_{2}\\ \cdots \\ L_{n}+v_{n}=a_{n}\hat{X_{1}}+b_{n}\hat{X_{2}}+\cdots +t_{n}\hat{X_{t}}+d_{n} \end{matrix}$ 令

\hat{X_{j}} = X_{j}^{0} + \hat{x_{j}} (j = 1, 2, \dots, t)

$\hat{X_{j}}=X_{j}^{0}+\hat{x_{j}}\left ( j=1,2,\cdots ,t \right )$

l_{i} = L_{i} - (a_{i} \hat{X_{1}} + b_{i} \hat{X_{2}} + \dots + t_{i} \hat{X_{t}} + d_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)

$l_{i}=L_{i}-\left ( a_{i}\hat{X_{1}}+b_{i}\hat{X_{2}}+\cdots +t_{i}\hat{X_{t}}+d_{i} \right )\left ( i=1,2,\cdots ,n \right )$ 可得最终的误差方程为

v_{i} = a_{i} \hat{x_{1}} + b_{i} \hat{x_{2}} + \dots + t_{i} \hat{x_{t}} - l_{i} (i = 1, 2, \dots, n)

$v_{i}= a_{i}\hat{x_{1}}+b_{i}\hat{x_{2}}+\cdots +t_{i}\hat{x_{t}}-l_{i}\left ( i=1,2,\cdots ,n \right )$ 其中：

\underset{n t}{B} = [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & \dots & t_{1} \\ a_{2} & b_{2} & \dots & t_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n} & b_{n} & \dots & t_{n} \end{matrix}]

$\underset{nt}{B}=\begin{bmatrix} a_{1}& b_{1} & \cdots & t_{1}\\ a_{2}& b_{2}& \cdots& t_{2}\\ \vdots& \vdots & & \vdots\\ a_{n}& b_{n}& \cdots& t_{n} \end{bmatrix}$

\underset{n 1}{V} = {[\begin{matrix} v_{1} & v_{2} & \dots & v_{n} \end{matrix}]}^{T}

$\underset{n1}{V}=\begin{bmatrix} v_{1} & v_{2} & \cdots & v_{n} \end{bmatrix}^{T}$

\hat{\underset{t 1}{x}} = {[\begin{matrix} {\hat{x}}_{1} & {\hat{x}}_{2} & \dots & {\hat{x}}_{t} \end{matrix}]}^{T}

$\hat{\underset{t1}{x}}=\begin{bmatrix} \hat{x}_{1}& \hat{x}_{2}& \cdots & \hat{x}_{t} \end{bmatrix}^{T}$

\underset{n 1}{l} = {[\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & \dots & l_{n} \end{matrix}]}^{T}

$\underset{n1}{l}=\begin{bmatrix} l_{1}& l_{2}& \cdots & l_{n} \end{bmatrix}^{T}$ 按最小二乘原理，可得：

\frac{\partial V^{T} P V}{\partial \hat{x}} = 2 V^{T} P \frac{\partial V}{\partial \hat{x}} = V^{T} P B = 0

$\frac{\partial V^{T}PV}{\partial \hat{x}}=2V^{T}P\frac{\partial V}{\partial \hat{x}}=V^{T}PB=0$
上述方程与

V = B \hat{x} - l

$V=B\hat{x}-l$ 联立，解得：

B^{T} P B \hat{x} - B^{T} P l = 0

$B^{T}PB\hat{x}-B^{T}Pl=0$ 令

N_{B B} = B^{T} P B, W = B^{T} P l

$N_{BB}=B^{T}PB,W=B^{T}Pl$ 上式可简写为：

N_{B B} \hat{x} - W = 0

$N_{BB}\hat{x}-W=0$ 式中系数阵

N_{B B}

$N_{BB}$ 为满秩，

\hat{x}

$\hat{x}$ 有唯一解，上式称为间接平差的法方程。解之得：

\hat{x} = N_{B B}^{- 1} W

$\hat{x}=N_{BB}^{-1}W$ 从而平差结果为：

\hat{X} = X^{0} + \hat{x}

$\hat{X}=X^{0}+\hat{x}$ 其中，

P

$P$ 是观测数据的协因数阵的逆矩阵，一般可认为是单位矩阵。
下面是具体的代码实现，其中基本的矩阵运算没有在下面给出，在矩阵算法相关代码，如有需要可以下载。

template<class T>
void GetWu1(T Wu1[],const T *matrixB,const T *l,int N,int U)
{
    T *transposedB=new T[N*U];
    MatrixTranspose(matrixB,transposedB,N,U);
    MultMatrix(transposedB,l,Wu1,U,N,1);

    delete [] transposedB;
}

template<class T>
void GetNBB(T nbb[],const T *matrixB,int N,int U)
{
    T *transposedB=new T[N*U];
    MatrixTranspose(matrixB,transposedB,N,U);
    MultMatrix(transposedB,matrixB,nbb,U,N,U);

    delete [] transposedB;
}

/// <summary>   
/// 间接平差
/// </summary>     
/// <param name="correction">返回的改正数</param> 
/// <param name="matrixB"></param>
/// <param name="l"></param>
/// <param name="N"></param>
/// <param name="U"></param>
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
template<class T>
void GetCorrection(T correction[],const T *matrixB,const T *l,int N,int U)
{
    T *nbb=new T[U*U];
    T *inverseForNbb=new T[U*U];
    T *Wu1=new T[U];

    GetNBB(nbb,matrixB,N,U);
    MatrixAnti(nbb,inverseForNbb,U);
    GetWu1(Wu1,matrixB,l,N,U);

    MultMatrix(inverseForNbb,Wu1,correction,U,U,1);

    delete [] nbb;
    delete [] inverseForNbb;
    delete [] Wu1;
}

最后再说一下精度评定，首先通过下面的公式得到单位权中误差：

{\hat{σ}}_{0} = \sqrt{\frac{V^{T} P V}{n - t}}

$\hat{\sigma }_{0}=\sqrt{\frac{V^{T}PV}{n-t}}$ 其中

n

$n$ 为方程数，

t

$t$ 为拟合向量的维数。平差值的协因数阵根据下面公式求得：

Q_{\hat{x} \hat{x}} = N_{B B}^{- 1}

$Q_{\hat{x}\hat{x}}=N_{BB}^{-1}$ 假定间接平差问题中有

t

$t$ 个参数，设参数的函数为：

\hat{φ} = ϕ (\hat{X_{1}}, \hat{X_{2}}, \dots, \hat{X_{t}})

$\hat{\varphi }=\phi \left ( \hat{X_{1}},\hat{X_{2}},\cdots ,\hat{X_{t}} \right )$ 为求函数

ϕ

$\phi$ 的中误差，先对上式全微分得权函数式为：

d \hat{φ} = f_{1} d \hat{X_{1}} + f_{2} d \hat{X_{2}} + \dots + f_{t} d \hat{X_{t}}

$d\hat{\varphi }=f_{1}d\hat{X_{1}}+f_{2}d\hat{X_{2}}+\cdots+ f_{t}d\hat{X_{t}}$ 令

F^{T} = [\begin{matrix} f_{1} & f_{2} & \dots & f_{t} \end{matrix}]

$F^{T}=\begin{bmatrix} f_{1} & f_{2} & \cdots & f_{t} \end{bmatrix}$ ，则函数

\hat{φ}

$\hat{\varphi }$ 的协因数阵为：

Q_{\hat{φ} \hat{φ}} = F^{T} Q_{\hat{x} \hat{x}} F = F^{T} N_{B B}^{- 1} F

$Q_{\hat{\varphi }\hat{\varphi }}=F^{T}Q_{\hat{x}\hat{x}}F=F^{T}N_{BB}^{-1}F$
最后由下面公式可算得平差值函数的中误差：

{\hat{σ}}_{\hat{φ}} = {\hat{σ}}_{0} \times \sqrt{Q_{\hat{φ} \hat{φ}}}

$\hat{\sigma }_{\hat{\varphi}} = \hat{\sigma }_{0}\times \sqrt{Q_{\hat{\varphi }\hat{\varphi }}}$

参考文献：
[1] 误差理论与测量平差基础武汉大学测绘学院测量平差学科组编著

转载请注明出处：http://blog.csdn.net/fourierFeng/article/details/47272167

测量平差之间接平差

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