t-SNE（续）

SNE

在介绍t-SNE之前，我们首先介绍一下SNE（Stochastic Neighbor Embedding）的原理。

假设我们有数据集X，它共有N个数据点。每一个数据点 $x_i$ 的维度为D，我们希望降低为d维。在一般用于可视化的条件下，d的取值为 2，即在平面上表示出所有数据。

SNE将数据点间的欧几里德距离转化为条件概率来表征相似性：

p_{j ∣ i} = \frac{\exp (- ‖ x_{i} - x_{j} ‖^{2} / 2 σ^{2})}{\sum_{k \neq i} \exp (- ‖ x_{i} - x_{k} ‖^{2} / 2 σ^{2})}

$p_{j\mid i}=\frac{\exp(-\|x_i-x_j\|^2/2\sigma^2)}{\sum_{k\neq i}\exp(-\|x_i-x_k\|^2/2\sigma^2)}$

如果以数据点在 $x_i$ 为中心的高斯分布所占的概率密度为标准选择近邻，那么 $p_{j\mid i}$ 就代表 $x_i$ 将选择 $x_j$ 作为它的近邻。对于相近的数据点，条件概率 $p_{j\mid i}$ 是相对较高的，然而对于分离的数据点， $p_{j\mid i}$ 几乎是无穷小量（若高斯分布的方差 $\sigma_i$ 选择合理）。

现在引入矩阵Y，Y是N*2阶矩阵，即输入矩阵X的2维表征。基于矩阵Y，我们可以构建一个分布q，其形式与p类似。

对于高维数据点 $x_i$ 和 $x_j$ 在低维空间中的映射点 $y_i$ 和 $y_j$ ，计算一个相似的条件概率 $q_{j\mid i}$ 是可以实现的。我们将计算条件概率 $q_{i\mid j}$ 中用到的高斯分布的方差设置为1/2。因此我们可以对映射的低维数据点 $y_j$ 和 $y_i$ 之间的相似度进行建模：

q_{j ∣ i} = \frac{\exp (- ‖ y_{i} - y_{j} ‖^{2})}{\sum_{k \neq i} \exp (- ‖ y_{i} - y_{k} ‖^{2})}

$q_{j\mid i}=\frac{\exp(-\|y_i-y_j\|^2)}{\sum_{k\neq i}\exp(-\|y_i-y_k\|^2)}$

我们的总体目标是选择Y中的一个数据点，然后其令条件概率分布q近似于p。这一步可以通过最小化两个分布之间的KL散度而实现，这一过程可以定义为：

C = \sum_{i} K L (P_{i} ‖ Q_{i}) = \sum_{i} \sum_{j} p_{j ∣ i} \log \frac{p_{j ∣ i}}{q_{j ∣ i}}

$C = \sum_i KL(P_i \| Q_i) = \sum_i \sum_j p_{j \mid i} \log \frac{p_{j \mid i}}{q_{j \mid i}}$

这里的 $P_i$ 表示了给定点 $x_i$ 下，其他所有数据点的条件概率分布。需要注意的是KL散度具有不对称性，在低维映射中不同的距离对应的惩罚权重是不同的，具体来说：距离较远的两个点来表达距离较近的两个点会产生更大的cost，相反，用较近的两个点来表达较远的两个点产生的cost相对较小(注意：类似于回归容易受异常值影响，但效果相反)。即用较小的 $q_{j\mid i}=0.2$ 来建模较大的 $p_{j\mid i}=0.8$ ， $cost=p\log(p/q)=1.11$ ,同样用较大的 $q_{j\mid i}=0.8$ 来建模较小的 $p_{j\mid i}=0.2$ , $cost=-0.277$ 。因此，SNE会倾向于保留数据中的局部特征。

如何确定 $\sigma$

下面介绍一下SNE的超参 $\sigma$ 的确定方法。

首先，不同的点具有不同的 $\sigma_i$ ， $P_i$ 的熵(entropy)会随着 $\sigma_i$ 的增加而增加。SNE使用困惑度(perplexity)的概念，用二分搜索的方式来寻找一个最佳的 $\sigma$ 。其中困惑度指:

P e r p (P_{i}) = 2^{H (P_{i})}

$Perp(P_i) = 2^{H(P_i)}$

这里的 ${H(P_i)}$ 是 $P_i$ 的熵，即:

H (P_{i}) = - \sum_{j} p_{j ∣ i} \log_{2} p_{j ∣ i}

$H(P_i) = -\sum_j p_{j \mid i} \log_2 p_{j \mid i}$

困惑度可以解释为一个点附近的有效近邻点个数。SNE对困惑度的调整比较有鲁棒性，通常选择5-50之间。

在初始优化的阶段，每次迭代中可以引入一些高斯噪声，之后像模拟退火一样逐渐减小该噪声，可以用来避免陷入局部最优解。因此，SNE在选择高斯噪声，以及学习速率，什么时候开始衰减，动量选择等等超参数上，需要跑多次优化才可以。

Symmetric SNE

优化 $p_{i \mid j}$ 和 $q_{i \mid j}$ 的KL散度的一种替换思路是，使用联合概率分布来替换条件概率分布，即P是高维空间里各个点的联合概率分布，Q是低维空间里各个点的联合概率分布，目标函数为:

C = K L (P ∣∣ Q) = \sum_{i} \sum_{j} p_{i, j} \log \frac{p_{i j}}{q_{i j}}

$C = KL(P \mid \mid Q) = \sum_i \sum_j p_{i,j} \log \frac{p_{ij}}{q_{ij}}$

如果我们假设对于任意i，有 $p_{ij} = p_{ji}, q_{ij} = q_{ji}$ ，则概率分布可以改写为:

p_{i j} = \frac{\exp (- ∣∣ x_{i} - x_{j} ∣ ∣^{2} / 2 σ^{2})}{\sum_{k \neq l} \exp (- ∣∣ x_{k} - x_{l} ∣ ∣^{2} / 2 σ^{2})} q_{i j} = \frac{\exp (- ∣∣ y_{i} - y_{j} ∣ ∣^{2})}{\sum_{k \neq l} \exp (- ∣∣ y_{k} - y_{l} ∣ ∣^{2})}

$p_{ij} = \frac{\exp(- \mid \mid x_i - x_j \mid \mid ^2 / 2\sigma^2)}{\sum_{k \neq l} \exp(- \mid \mid x_k-x_l \mid \mid ^2 / 2\sigma^2)} \ \ \ \ q_{ij} = \frac{\exp(- \mid \mid y_i - y_j \mid \mid ^2)}{\sum_{k \neq l} \exp(- \mid \mid y_k-y_l \mid \mid ^2)}$

我们将这种SNE称之为symmetric SNE(对称SNE)。

t-SNE

SNE的主要问题在于存在Crowding问题：就是说各个簇聚集在一起，无法区分。比如有一种情况，高维度数据在降维到10维下，可以有很好的表达，但是降维到两维后无法得到可信映射，比如降维如10维中有11个点之间两两等距离的，在二维下就无法得到可信的映射结果(最多3个点)。

其中的一种减轻”拥挤问题”的方法：在高维空间下，在高维空间下我们使用高斯分布将距离转换为概率分布，在低维空间下，我们使用更加偏重长尾分布的方式来将距离转换为概率分布，使得高维度下中低等的距离在映射后能够有一个较大的距离。

我们对比一下高斯分布和t分布, t分布受异常值影响更小，拟合结果更为合理，较好的捕获了数据的整体特征。

使用了t分布之后的q变化，如下:

q_{i j} = \frac{(1 + ∣∣ y_{i} - y_{j} ∣ ∣^{2})^{- 1}}{\sum_{k \neq l} (1 + ∣∣ y_{i} - y_{j} ∣ ∣^{2})^{- 1}}

$q_{ij} = \frac{(1 + \mid \mid y_i -y_j \mid \mid ^2)^{-1}}{\sum_{k \neq l} (1 + \mid \mid y_i -y_j \mid \mid ^2)^{-1}}$

这里写图片描述

t-sne的有效性，也可以从上图中看到：横轴表示距离，纵轴表示相似度, 可以看到，对于较大相似度的点，t分布在低维空间中的距离需要稍小一点；而对于低相似度的点，t分布在低维空间中的距离需要更远。这恰好满足了我们的需求，即同一簇内的点(距离较近)聚合的更紧密，不同簇之间的点(距离较远)更加疏远。

总结一下，t-SNE的梯度更新有两大优势：

对于不相似的点，用一个较小的距离会产生较大的梯度来让这些点排斥开来。

这种排斥又不会无限大(梯度中分母)，避免不相似的点距离太远。

这里写图片描述

上图分别是使用t-SNE和Sammon mapping可视化MNIST数据集后的效果图。从中可以看出t-SNE图中，数据更成团状，可视化效果更好。

t-SNE的不足主要有四个:

主要用于可视化，很难用于其他目的。比如测试集合降维，因为他没有显式的预估部分，不能在测试集合直接降维；比如降维到10维，因为t分布偏重长尾，1个自由度的t分布很难保存好局部特征，可能需要设置成更高的自由度。

t-SNE倾向于保存局部特征，对于本征维数(intrinsic dimensionality)本身就很高的数据集，是不可能完整的映射到2-3维的空间

t-SNE没有唯一最优解，且没有预估部分。如果想要做预估，可以考虑降维之后，再构建一个回归方程之类的模型去做。但是要注意，t-sne中距离本身是没有意义，都是概率分布问题。

训练太慢。有很多基于树的算法在t-sne上做一些改进。

参考

https://www.zhihu.com/question/52022955

t-sne数据可视化算法的作用是啥？为了降维还是认识数据？

https://mp.weixin.qq.com/s/Rs9ri6Xs5R-yitrda8pJMg

详解可视化利器t-SNE算法：数无形时少直觉

https://mp.weixin.qq.com/s/_DXMlNZHVKm2jMnLGQFM_Q

还在用PCA降维？快学学大牛最爱的t-SNE算法吧

http://www.datakit.cn/blog/2017/02/05/t_sne_full.html

t-SNE完整笔记

https://yq.aliyun.com/articles/70733

比PCA降维更高级——（R/Python）t-SNE聚类算法实践指南

https://mp.weixin.qq.com/s/7Vy7l1YyBT7rMYW2i1AsuA

线性判别分析(LDA)原理详解

https://mp.weixin.qq.com/s/cnzQ7XepftDOZXslCf1MUA

你真的会用t-SNE么？有关t-SNE的小技巧

https://mp.weixin.qq.com/s/lbpe2NO1m8S38wpnp47BEg

通过可视化隐藏表示，更好地理解神经网络

Adaboost

Adaboost是Yoav Freund和Robert Schapire于1997年提出的算法。两人后来因为该算法被授予Gödel Prize（2003）。

Yoav Freund，UCSC博士，UCSD教授。

Robert Elias Schapire，MIT博士。先后供职于Princeton University、AT&T Labs和Microsoft Research。

Gödel Prize，由欧洲计算机学会（EATCS）与美国计算机学会基础理论专业组织（ACM SIGACT）于1993年共同设立，颁给理论计算机领域最杰出的学术论文。其名称取自Kurt Gödel。

Kurt Friedrich Gödel，1906～1978，奥地利逻辑学家，数学家，哲学家，后加入美国藉。维也纳大学博士（1930）。在逻辑学方面，他是继Aristotle、Gottlob Frege之后最伟大的逻辑学家。在数学方面，他以哥德尔不完备定理著称，和Bertrand Russell、 David Hilbert、Georg Cantor齐名。

Adaboost既可用于分类问题，也可用于回归问题。这里仅针对二分类问题进行讨论。

假设我们有数据集 $\{(x_1, y_1), \ldots, (x_N, y_N)\}$ ，其中 $y_i \in \{-1, 1\}$ ，还有一系列弱分类器 $\{k_1, \ldots, k_L\}$ 。

由于Boost算法是个串行算法，每次迭代就会加入一个弱分类器。这样m-1次迭代之后的分类器如下所示：

C_{(m - 1)} (x_{i}) = α_{1} k_{1} (x_{i}) + \dots + α_{m - 1} k_{m - 1} (x_{i})

$C_{(m-1)}(x_i) = \alpha_1k_1(x_i) + \cdots + \alpha_{m-1}k_{m-1}(x_i)$

而m次迭代之后的分类器则为：

C_{m} (x_{i}) = C_{(m - 1)} (x_{i}) + α_{m} k_{m} (x_{i})

$C_{m}(x_i) = C_{(m-1)}(x_i) + \alpha_m k_m(x_i)$

如何选择新加入的弱分类器 $k_m$ 和对应的权重 $\alpha_m$ 呢？我们可以定义误差E如下所示：

E = \sum_{i = 1}^{N} e^{- y_{i} C_{m} (x_{i})}

$E = \sum_{i=1}^N e^{-y_i C_m(x_i)}$

令 $w_i^{(1)} = 1,w_i^{(m)} = e^{-y_i C_{m-1}(x_i)}$ ，则：

E = \sum_{i = 1}^{N} w_{i}^{(m)} e^{- y_{i} α_{m} k_{m} (x_{i})}

$E = \sum_{i=1}^N w_i^{(m)}e^{-y_i\alpha_m k_m(x_i)}$

因为 $k_m$ 分类正确时， $y_i k_m(x_i) = 1$ ，分类错误时， $y_i k_m(x_i) = -1$ 。所以：

E = \sum_{y_{i} = k_{m} (x_{i})} w_{i}^{(m)} e^{- α_{m}} + \sum_{y_{i} \neq k_{m} (x_{i})} w_{i}^{(m)} e^{α_{m}} = \sum_{i = 1}^{N} w_{i}^{(m)} e^{- α_{m}} + \sum_{y_{i} \neq k_{m} (x_{i})} w_{i}^{(m)} (e^{α_{m}} - e^{- α_{m}})

$E = \sum_{y_i = k_m(x_i)} w_i^{(m)}e^{-\alpha_m} + \sum_{y_i \neq k_m(x_i)} w_i^{(m)}e^{\alpha_m}\\= \sum_{i=1}^N w_i^{(m)}e^{-\alpha_m} + \sum_{y_i \neq k_m(x_i)} w_i^{(m)}(e^{\alpha_m}-e^{-\alpha_m})$

可以看出和 $k_m$ 相关的实际上只有上式的右半部分。显然，使得 $\sum_{y_i \neq k_m(x_i)} w_i^{(m)}$ 最小的 $k_m$ ，也会令E最小，这也就是我们选择加入的 $k_m$ 。

对E求导，得：

\frac{d E}{d α_{m}} = \frac{d (\sum_{y_{i} = k_{m} (x_{i})} w_{i}^{(m)} e^{- α_{m}} + \sum_{y_{i} \neq k_{m} (x_{i})} w_{i}^{(m)} e^{α_{m}})}{d α_{m}}

$\frac{d E}{d \alpha_m} = \frac{d (\sum_{y_i = k_m(x_i)} w_i^{(m)}e^{-\alpha_m} + \sum_{y_i \neq k_m(x_i)} w_i^{(m)}e^{\alpha_m}) }{d \alpha_m}$

令导数为0，可得：

α_{m} = \frac{1}{2} \ln (\frac{\sum_{y_{i} = k_{m} (x_{i})} w_{i}^{(m)}}{\sum_{y_{i} \neq k_{m} (x_{i})} w_{i}^{(m)}})

$\alpha_m = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{\sum_{y_i = k_m(x_i)} w_i^{(m)}}{\sum_{y_i \neq k_m(x_i)} w_i^{(m)}}\right)$

令 $\epsilon_m = \sum_{y_i \neq k_m(x_i)} w_i^{(m)} / \sum_{i=1}^N w_i^{(m)}$ ，则：

α_{m} = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 - ϵ_{m}}{ϵ_{m}})

$\alpha_m = \frac{1}{2}\ln\left( \frac{1 - \epsilon_m}{\epsilon_m}\right)$

参考：

https://mp.weixin.qq.com/s/G06VDc6iTwmNGsH4IfSeJQ

Adaboost从原理到实现

https://mp.weixin.qq.com/s/PZ-1fkNvdJmv_8zLbvoW1g

Adaboost算法原理小结

https://mp.weixin.qq.com/s/KoOUgwXLOfJfOjWhbFX52Q

如果Boosting你懂，那Adaboost你懂么？

https://mp.weixin.qq.com/s/Joz2FpGgBY0tC8lpoFz8Mw

AdaBoost元算法如何提高分类性能——机器学习实战

https://mp.weixin.qq.com/s/MLEVUKse5usmKIWJF-yfOQ

通俗易懂讲解自适应提升算法AdaBoost

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