凸集的一个证明

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凸集的定义：
对集合 $S$ 任意两点 $x_1$， $x_2$，以及两个实数 $\theta_1$， $\theta_2$，并且 $\theta_1+\theta_2=1$， $\theta_1\geq 0$， $\theta_2\geq 0$，都有
$\theta_1 x_1+\theta_2x_2\in S$
则 $S$ 是凸集。

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问题：
集合 $S$ 是凸集，这鞥名其中任意 $k$ 个点 $x_1\dots x_k$，以及 $k$ 个实数 $\theta_1\dots \theta_k$，并且 $\theta_1+\dots+\theta_k=1$， $\theta_1\geq 0,\dots ,\theta_k\geq 0$，都有
$\theta_1 x_1+\theta_2x_2+\dots+\theta_kx_k\in S$

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证明：
数学归纳法。对于 $k=2$ 时，显然成立。
假设对于 $k=n$ 时成立，下面我们证明 $k=n+1$ 时也成立。
$\begin{aligned} &\theta_1 x_1+\theta_2x_2+\dots+\theta_{k+1}x_{k+1}\\ =&\theta_1 x_1+(1-\theta_1)\left(\frac{\theta_2}{1-\theta_1 }x_2+\dots+\frac{x_{k+1}}{1-\theta_1}x_{k+1} \right) \end{aligned}$

因为 $\frac{\theta_2}{1-\theta_1 }+\dots+\frac{\theta_{k+1}}{1-\theta_1 }=\frac{1-\theta_1}{1-\theta_1}=1$，根据 $k=n$ 时成立，上式第二项在凸集 $S$ 中，第一项与第二项的和相当于 $k=2$ 的情况，故也在凸集 $S$ 中。 $\quad\Box$