一个证明

定义——狄利克雷卷积：
$(f*g)(n)=\Sigma_{d|n}f(d)g(n/d)$
以下证明  $\Sigma_{d|n}\phi(d)=n$即$\phi*1=Id$
定义$\xi(n)=[n==1]$,则有任意$f*\xi=f$
需知：① $\mu*1=\xi$
​           ② $\mu*Id=\phi$
  简要证明②：
  设$n=p1^a1*p2^a2*p3^a3...*pm^am$
  $\phi(n)=n-(n/p1+n/p2+..+n/pm)+(n/p1p2+n/p1p3...n/pm-1pm)...$(容斥)
  得证②.
  由①、②推出：
  $\mu*1*Id=\xi*Id$
  ∴$\phi*1=Id​$
  原式得证

定义——狄利克雷卷积：
$(f*g)(n)=\Sigma_{d|n}f(d)g(n/d)$
以下证明 $\Sigma_{d|n}\phi(d)=n$即$\phi*1=Id$
定义$\xi(n)=[n==1]$,则有任意$f*\xi=f$
需知：① $\mu*1=\xi$
​ ② $\mu*Id=\phi$
简要证明②：
设$n=p1^a1*p2^a2*p3^a3...*pm^am$
$\phi(n)=n-(n/p1+n/p2+..+n/pm)+(n/p1p2+n/p1p3...n/pm-1pm)...$(容斥)
得证②.
由①、②推出：
$\mu*1*Id=\xi*Id$
∴$\phi*1=Id​$
原式得证