我们以马尔科夫链为例，来看看如何将数学理论应用在实际学习中。马尔科夫是随机过程中的一个在预测领域经常应用的理论。
学习某种数学的算法或者理论，总结起来无非是以下几个方面，掌握学习规律后，我们可以根据自己的实际情况，对不同部分的学习，给予取舍：
1、原理或定理的由来。
这点其实是最难的部分，要求有扎实的数学功底，包括了从无到有的推理过程，算法的证明，来龙去脉等。数学常常是抽象中的抽象，一门学科常常以前面的若干学科为基础，因此有时候单看一个理论是很难一管窥豹的。建议如果对数学知识基础不扎实，其实完全可以忽略这部分。而只要记住结论，记住公式。我们只要知道，这个算法的应用领域，适用范围等即可。当然最好要大致了解这个理论在整个架构中的位置，这样方便我们整理自己的知识架构。
例如马尔科夫是随机过程中的一个概念。通过下面的分析，我们大致就了解马尔科夫的适用范围和再随机过程中的大致的位置。
随机过程可以看做是一个从参数集（T）到状态空间（E）的映射。也就是由参数集中的随机变量构成的函数。
而按照参数集和状态空间的类型，可以分为：离散参数链、非离散参数链、随机序列、随机函数。
根据概率的机构，随机过程分为：独立增量过程、平稳过程、非平稳过程、马尔科夫过程等。
这里著名的泊松过程就是T连续，E离散的平稳过程；马尔科夫链就是T和E均离散的马尔科夫过程。
2、原理或算法的约束条件的逐步强化
这是用以简化问题研究。其实提出越严苛的条件，越有利于我们对理论的快速理解。原理的推理过程大多是从普遍规律推到特殊情况，条件逐渐加强，而其实有时候可以从严苛条件反推回去看宽松条件的定理，学习起来更轻松。往往为了简化某个公式或者某个理论，往往会对算法进行简化。
比如在马尔科夫链中，一开始不太好理解，但是随着条件的加强，概念反而越来越清晰。
1）首先是马氏链：也就是当前的状态与过去的状态无关，也就是随机出现的。例如青蛙跳荷叶、醉汉走步等。这样就约束了，状态之间的关系。
2）接下来是与时间的无关性，也就称为齐次。也就是条件概率与当前的时间无关，换句话说，无论什么时候，条件概率是一样的。这样就得到了齐次马氏链。
3）弱依赖性。这个应该算是条件也算是性质。本来在计算预测中最担心的是多元素的互相依赖。而马链却很好的有个弱依赖性，也就是当前点只依赖于前一个点。正因为有了这个弱依赖性，使得，我们可以从初始状态推测出后面无数点的预测状态。（第三大点的第1点说明）
根据这个弱依赖性，我们就可以做一个转移矩阵P了。这个转移矩阵的每个值，就是表示上一点，到本点的概率。
其中Pij，是指当前状态为i的情况下，转移到j的条件概率。
所以有：P00+P01+...+P0m=1
4）一步转移概率。当在二维上，点的范围非常大，各个方向都可以移动。为了研究问题，这个时候理论又进一步开始限制条件，再来简化问题，也就是只能在一维上运动，也就是非左即右，而且每次只走一步。这样就使得问题越来越明了和简单。
我们可以看到，马可夫链，不断的强化条件，这是为了最后的原理能落地，更接近于实际情况。
3、原理的逐步引申推出
把原理进一步的进行演算，是为了能把原理应用到实践中。可以看做是一个从理论到实践的过程，有时候会运用到之前的许多概念。有时候很难，对于过程原理部分，也可以忽略掉。可以只记住结果。
例如，马尔科夫链需要确定，在以上条件下，我们最终来确定条件概率，能预测未来。那么就会涉及移动的极限的问题。也就是如果不停的移动，产生的概率，最后的极限是什么？如果极限是确定的，我们可以说这种的震荡过程就是平稳的。
1）多步概率的确定。为了研究极限，当然需要从有限开始，走一步，然后走多步，会得到什么结论呢？既然从一步到多步，那么就肯定有中间的步骤。于是有一个C-K方程。
这个方程，其实就是对时间的分解，中间插入了一个中间步骤。解决了从一步到多步的问题研究。
其实我们只要记住最后的结论：P(U+V)=P(U)+P(V)，这里的P是上面说的转移矩阵。
这样就得出结论：P(n)=P^n。哈哈，这个结论非常神奇，也就是只要知道一步，就可以推算出N步，这也就是我们前面说的：可以从初始状态推测出后面无数点的预测状态。
2）无限步概率的确定。上面讨论是有限的情况，那么无限会怎么样呢？
这个时候为了简化问题，就考虑只有两个状态空间，非0即1的时候，多步概率会怎样？
那么根据P(n)=P^n，我们就可以计算出P(n)的情况，也就是走了n步后的概率情况：
关于矩阵的n次方求解方法，请点击查看，自行恶补。最后得到：
哈哈，这个结论也好棒啊。因为(1-a-b)是小数，当n无穷的话，这个式子就是0咯。这里就引出了极限。
那么极限就出来啦，记为π1和π2
3）多个状态的无限步概率。然后由两个状态拓展到多个状态，就得出了重要的结论。
再解释一下：遍历性，就是P^n使得所有的π>0，这个n只要能找到就行!，也就是概率不为0。实际意义就是，任何一个状态经过若干步，总是能到达的，没有遗漏称之为遍历性。
4）最后定理出来了。
解释一下：π，其实就是一个向量，也就是概率的极限。（例如，硬币的正反面，概率的极限就是各50%）。因为P是转移矩阵，所以π，转移后，肯定还是π，因为π是极限，是固定值，也可以说概率是稳定的。（例如，硬币概率是50%，再扔一次或者n次，概率还是50%，不会变的）
整理思路：
a)要求证是否有遍历性，只要找到一个m，使得p^m无零元。
b)通过极限分布得到求解方程组。
c)因为π的值可以计算得到，因此我们可以得出：在定理条件下马是链的极限分布是平稳的。
4、具体应用步骤
那么有定理了，怎么来应用呢？这是必须要掌握的部分。了解了定理，我们需要整理一个规律，可以套用到相应的领域。
在确定参数集（T）和状态空间（S）之后：
1）求解一步转移矩阵P
通过过往的数据，状态转换的条件概率值，而得到
2）求证遍历性
也就是找一个n，使得P^n无零元。
3）求极限分布π
π=（π1，π2，...，πm）,满足π=πP，而且π1+π2+...+πm=1，这样就可以得出所有的π值。例如：
4）得到将来的预测值。
先得到一个初始的概率分布向量P(0)，那么第n步预测值就应该是：P(0)*P^n
5、案例应用
市场占有率预测：
设某地有1600户居民，某产品只有甲、乙、丙3厂家在该地销售。经调查，8月份买甲、乙、丙三厂的户数分别为480，320，800。9月份里，原买甲的有48户转买乙产品，有96户转买丙产品；原买乙的有32户转买甲产品，有64户转买丙产品；原买丙的有64户转买甲产品，有32户转买乙产品。用状态1、2、3分别表示甲、乙、丙三厂，试求：9月份市场占有率的分布；12月份市场占有率的分布。
参数集：{1600户居民}，状态空间E={1,2,3}分别为甲乙丙三厂
1）转移矩阵
2）P无零元是具有遍历性的。
3）9月份P(1)=P(0)P1，12月份=p(0)P1^4
铁路公路运输预测：