模拟域频率与数字域频率关系

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数字频率于模拟频率互相转化的公式如下：

$$\omega=\frac{2\pi f}{f_s}$$
通常所说的频率，在没有特别指明的情况下，指的是模拟频率，其单位为赫兹( $Hz$)，或者为1/秒( $1/s$)，数学符号用 $f$来表示。以赫兹表示的模拟频率表示的是每秒时间内信号变化的周期数。如果用单位圆表示的话，如图1所示，旋转一圈表示信号变化一个周期，则模拟频率则指的是每秒时间内信号旋转的圈数。

图1：数字频率与模拟频率
模拟频率中还有一个概念是模拟角频率 $\Omega$，其单位是弧度/秒（ $rad/s$）。从单位圆的角度看，模拟频率是每秒时间内信号旋转的圈数，每一圈的角度变化数为 $2\pi$。很显然，旋转 $f$圈对应着 $2\pi f$的弧度。即： $\Omega=2\pi *f(rad/s) \tag {1}$
数字信号大多是从模拟信号采样而得，采样频率通常用 $f_s$表示。数字频率更准确的叫法应该是归一化数字角频率，其单位为弧度（ $rad$）,数字符号常用 $\omega$表示。即:
$\omega=\frac{2\pi *f}{f_s} \tag {2}$
其物理意义是相邻两个采样点之间所变化的弧度数，如图1所示。
有了公式1和2，可以在模拟频率与数字频率之间随意切换。假定有一个正弦信号 $x[n]$，其频率 $f=100Hz$，幅度为 $A$，初始相位为 $0$，则这个信号公式可以表示为：
$x(t)=A*\sin(2*\pi *100*t)$
用采样频率 $f_s=500Hz$对其进行采样，得到的数字信号 $x[n]$为：
$x[n]=A*\sin(2*\pi *100*n/f_s)=A*\sin(0.4*\pi *n)$
很明显，这个数字信号的频率为 $0.4\pi$

$$\omega = \Omega \cdot T =\Omega/f_s$$
由上述讨论可知，对应两个数字频率完全相同的信号，其模拟频率未必相同，因为这里还要考虑采样频率。这种归一化为处理带来了方便，但也给理解带来了困惑。在数字信号中，虽然经常不显式地出现采样频率，但它却是架起模拟信号与数字信号的桥梁，对信号处理的过程有举足轻重的影响。